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Research talks;Algebraic and Complex Geometry

Let X be a smooth and projective complex algebraic variety. Several notions, describing how close X is to projective space, have been developed: X is rational if an open subset of X is isomorphic to an open of a projective space, X is stably rational if this property holds for a product of X with some projective space, and X is unirational if X is rationally dominated by a projective space. A classical Lüroth problem is to find unirational nonrational varieties. This problem remained open till 1970th, when three types of such examples were produced: cubic threefolds (Clemens and Griffiths), some quartic threefolds (Iskovskikh and Manin), and some conic bundles (Artin et Mumford). The last examples are even not stably rational. The stable rationality of the first two examples was not known.
In a recent work C. Voisin established that a double solid ramified along a very general quartic is not stably rational. Inspired by this work, we showed that many quartic solids are not stably rational (joint work with J.-L. Colliot-Thélène). More generally, B. Totaro showed that a very general hypersurface of degree d is not stably rational if d/2 is at least the smallest integer not smaller than (n+2)/3. The same method allowed us to show that the rationality is not a deformation invariant (joint with B. Hassett and Y. Tschinkel).
In this series of lectures, we will discuss the methods to obtain the results above: the universal properties of the Chow group of zero-cycles, the decomposition of the diagonal, and the specialization arguments.
Let X be a smooth and projective complex algebraic variety. Several notions, describing how close X is to projective space, have been developed: X is rational if an open subset of X is isomorphic to an open of a projective space, X is stably rational if this property holds for a product of X with some projective space, and X is unirational if X is rationally dominated by a projective space. A classical Lüroth problem is to find unirational ...

14C15 ; 14C25 ; 14E08 ; 14H05 ; 14J70 ; 14M20

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Research talks;Algebraic and Complex Geometry

Let $X$ be a projective variety over a field $k$. Chow groups are defined as the quotient of a free group generated by irreducible subvarieties (of fixed dimension) by some equivalence relation (called rational equivalence). These groups carry many information on $X$ but are in general very difficult to study. On the other hand, one can associate to $X$ several cohomology groups which are "linear" objects and hence are rather simple to understand. One then construct maps called "cycle class maps" from Chow groups to several cohomological theories.
In this talk, we focus on the case of a variety $X$ over a finite field. In this case, Tate conjecture claims the surjectivity of the cycle class map with rational coefficients; this conjecture is still widely open. In case of integral coefficients, we speak about the integral version of the conjecture and we know several counterexamples for the surjectivity. In this talk, we present a survey of some well-known results on this subject and discuss other properties of algebraic cycles which are either proved or expected to be true. We also discuss several involved methods.
Let $X$ be a projective variety over a field $k$. Chow groups are defined as the quotient of a free group generated by irreducible subvarieties (of fixed dimension) by some equivalence relation (called rational equivalence). These groups carry many information on $X$ but are in general very difficult to study. On the other hand, one can associate to $X$ several cohomology groups which are "linear" objects and hence are rather simple to ...

14C25 ; 14G15 ; 14J70 ; 14C15 ; 14H05

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- vii; 166 p.
ISBN 978-0-8218-4955-2

Contemporary mathematics , 0521

Localisation : Collection 1er étage

théorie des nombres # géométrie algébrique # géométrie algébrique arithmétique # géométrie diophantienne # courbe algébrique # cryptographie

11G10 ; 11G15 ; 11G20 ; 14G10 ; 14G15 ; 14G50 ; 14H05 ; 14H10 ; 14H45 ; 14Q05 ; 11-06 ; 14-06 ; 94-06 ; 00B25 ; 11Gxx ; 14Gxx ; 14Hxx ; 94A60

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- 215 p.
ISBN 978-2-85629-175-7

Séminaires et congrès , 0011

Localisation : Collection 1er étage

fonction zêta # variété abélienne # corps de fonction # courbe sur les corps fini # tour de corps de fonction # corps fini # graphe # semi-groupe numérique # polynôme sur les corps finis # cryptographie # courbe hyperelliptique # représentation p-adique # tour de corps de classe # groupe de Galois # point rationel # fraction continue # régulateur # nombre de classe d'idéaux # complexité bilinéaire # jacobienne hyperelliptique

14H05 ; 14G05 ; 11G20 ; 20M99 ; 94B27 ; 11T06 ; 11T71 ; 11R37 ; 14G10 ; 14G15 ; 11R58 ; 11A55 ; 11R42 ; 11Yxx ; 12E20 ; 14H40 ; 14K05

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- 214 p.
ISBN 978-2-85629-116-0

Séminaires et congrès , 0005

Localisation : Collection 1er étage

Théorie de Galois # problème inverse # revêtements # revêtement galoisien # (G-)revêtement # groupe fondamental # déformation # recollement # espace de modules grossiers et fins # espace de Hurwitz # monodromie # surface de Riemann # théorème d'existence de Riemann # courbes de genre 1 et 2 # jacobienne # corps de définition #corps des modules #espace de Hurwitz des modules grossier # gerbe des modèles # fonctions implicites # revêtement de la droite projective # GAGA # champs # gerbe # descente # ramification # automorphisme des courbes # théorème de Riemann-Roch Théorie de Galois # problème inverse # revêtements # revêtement galoisien # (G-)revêtement # groupe fondamental # déformation # recollement # espace de modules grossiers et fins # espace de Hurwitz # monodromie # surface de Riemann # théorème d'existence de Riemann # courbes de genre 1 et 2 # jacobienne # corps de définition #corps des modules #espace de Hurwitz des modules grossier # gerbe des modèles # fonctions implicites # revêtement de la ...

12F12 ; 14H30 ; 14G32 ; 12E30 ; 14D15 ; 14D10 ; 14H05 ; 14H10 ; 30F10 ; 14G27 ; 14D22 ; 14E22 ; 14G22 ; 18G50 ; 14E20 ; 11G99 ; 14H37 ; 14C40

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- 279 p.
ISBN 978-0-8176-3684-5

Progress in mathematics , 0108

Localisation : Collection 1er étage

arithmétique des surfaces # correspondance de Jacquet- Langlands explicite # fonction algébrique # hauteur p-adique # monodromie # nombre de classes # relation des périodes de Riemann # représentation de Galois # régulateur de corps quadratique # serie de puissances # somme exponentielle cubique # théorie d'Iwasawa # théorie des nombres # valeur moyenne de fonction zeta de Riemann # variété abélienne de type K3 # variété de Shimura

11-06 ; 11K41 ; 11Mxx ; 14H05 ; 32A05

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Research talks;Algebraic and Complex Geometry

Let X be a smooth and projective complex algebraic variety. Several notions, describing how close X is to projective space, have been developed: X is rational if an open subset of X is isomorphic to an open of a projective space, X is stably rational if this property holds for a product of X with some projective space, and X is unirational if X is rationally dominated by a projective space. A classical Lüroth problem is to find unirational nonrational varieties. This problem remained open till 1970th, when three types of such examples were produced: cubic threefolds (Clemens and Griffiths), some quartic threefolds (Iskovskikh and Manin), and some conic bundles (Artin et Mumford). The last examples are even not stably rational. The stable rationality of the first two examples was not known.
In a recent work C. Voisin established that a double solid ramified along a very general quartic is not stably rational. Inspired by this work, we showed that many quartic solids are not stably rational (joint work with J.-L. Colliot-Thélène). More generally, B. Totaro showed that a very general hypersurface of degree d is not stably rational if d/2 is at least the smallest integer not smaller than (n+2)/3. The same method allowed us to show that the rationality is not a deformation invariant (joint with B. Hassett and Y. Tschinkel).
In this series of lectures, we will discuss the methods to obtain the results above: the universal properties of the Chow group of zero-cycles, the decomposition of the diagonal, and the specialization arguments.
Let X be a smooth and projective complex algebraic variety. Several notions, describing how close X is to projective space, have been developed: X is rational if an open subset of X is isomorphic to an open of a projective space, X is stably rational if this property holds for a product of X with some projective space, and X is unirational if X is rationally dominated by a projective space. A classical Lüroth problem is to find unirational ...

14C15 ; 14C25 ; 14E08 ; 14H05 ; 14J70 ; 14M20

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Research talks;Algebraic and Complex Geometry;Logic and Foundations

We will present some of the original definitions, results, and proof techniques about Pfaffian functions on the reals by Khovanskii.
A simple example of a Pfaffian function is an analytic function $f$ in one variable $x$ satisfying a differential equation $f^\prime = P(x,f)$ where $P$ is a polynomial in two variables. Khovanskii gives a notion of complexity of Pfaffian functions which in the example is just the degree of $P$. Using this complexity, he proves analogues of Bézout's theorem for Pfaffian curves (say, zero loci of Pfaffian functions in two variables), with explicit upper bounds in terms of the ocurring complexities.
We explain a recent application by J. Pila and others to a low-dimensional case of Wilkie's conjecture on rational points of bounded height on restricted Pfaffian curves. The result says that the number of rational points of height bounded by $T$, on a transcendental restricted Pfaffian curve, grows at most as a power of log$(T)$ as $T$ grows. This improves the typical upper bound $T^\epsilon$ in Pila-Wilkie's results in general o-minimal structures, the improvement being due to extra geometric Bézout-like control.
In the non-archimedean setting, I will explain analogues of some of these results and techniques, most of which are (emerging) work in progress with L. Lipshitz, F. Martin and A. Smeets. Some ideas in this case come from work by Denef and Lipshitz on variants of Artin approximation in the context of power series solution.
We will present some of the original definitions, results, and proof techniques about Pfaffian functions on the reals by Khovanskii.
A simple example of a Pfaffian function is an analytic function $f$ in one variable $x$ satisfying a differential equation $f^\prime = P(x,f)$ where $P$ is a polynomial in two variables. Khovanskii gives a notion of complexity of Pfaffian functions which in the example is just the degree of $P$. Using this ...

03C98 ; 14G05 ; 14H05 ; 58A17

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- xii; 484 p.
ISBN 978-1-4704-3518-9

Graduate studies in mathematics , 0188

Localisation : Collection 1er étage

géométrie algébrique # variété # morphisme # faisceau # cohomologie # schéma # courbe # surface # ramification # application étale

14-01 ; 14A05 ; 14A10 ; 14E05 ; 14C20 ; 14F10 ; 14F25 ; 14H05 ; 14J25

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- viii-152 p.
ISBN 978-0-8218-8330-3

History of mathematics , 0039

Localisation : Collection 1er étage

fonction algébrique # géométrie algébrique # histoire de la géométrie algébrique # histoire des mathématiques # mathématiques du 19e siècle # courbe algébrique # théorème de Reimann-Roch # algèbre différentielle

01A75 ; 01A55 ; 01A60 ; 14-03 ; 14H05 ; 11R58 ; 14F10

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- xvi, 652 p.
ISBN 978-0-8176-4480-2

Mathematics : Theory and Applications

Localisation : Ouvrage RdC (VILL)

théorie des nombres # théorie arithmétique des corps de fonctions algébriques # théorie de Galois # fonction algébrique # corps de fonctions algébriques # module de Drinfel'd # surface de Riemann # théorème de Riemann-Roch # différentiels de Weil # fonction cyclotomique

11R58 ; 11R60 ; 14H05 ; 11G09 ; 11R32 ; 12F05 ; 12F10 ; 12F15 ; 11S20 ; 14H55 ; 11R37 ; 11R29 ; 14G10 ; 14G15 ; 14G50 ; 11S31 ; 14H25 ; 12G05

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- viii, 260 p.
ISBN 978-0-691-10288-7

Localisation : Ouvrage RdC (NIED)

théorie des codes # cryptographie # géométrie algébrique # corps finis # corps de fonction algébrique # courbe algébrique # théorème de Riemann-Roch # place rationnelle # courbe elliptique # cryptosystème de McEliece et Niederreiter

14-02 ; 14G15 ; 14G50 ; 14H05 ; 94A60 ; 94B27

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- xiii; 355 p.
ISBN 978-3-540-76877-7

Graduate texts in mathematics , 0254

Localisation : Collection 1er étage

corps algébrique # corps de fonctions # extension # théorème de Riemann-Roch # théorie des codes

12-XX ; 94-XX ; 14-XX ; 11-XX ; 14H05 ; 14-01 ; 94-01 ; 94B27 ; 11R58 ; 11T71

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- 730 p.
ISBN 978-0-8176-4522-9

Cornerstones

Localisation : Ouvrage RdC (KNAP)

théorie des nombres algébriques # géométrie algébrique # algèbre associative # forme quadratique # algèbre homologique # adèles et idèles # catégorie abélienne # variété algébrique # bases de Gröbner

11-01 ; 13-01 ; 14-01 ; 16-01 ; 18G99 ; 55U99 ; 11R04 ; 11S15 ; 12F99 ; 14A05 ; 14H05 ; 12Y05 ; 14A10 ; 14Q99

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- 179 p.
ISBN 978-0-387-95432-5

Graduate texts in mathematics , 0215

Localisation : Collection 1er étage

courbe algébrique # théorème de Riemann-Roch # point rationnel # fonction algébrique # corps de fonction # dérivée de Hasse # fonction zeta

14H05 ; 11R42 ; 11R58

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- 214 p.
ISBN 978-0-8218-2862-5

Courant lecture notes in mathematics , 0008

Localisation : Ouvrage RdC (BOGO)

géométrie algébrique # courbe algébrique # courbe affine lisse # courbe projective # variété algébrique # diviseur # groupe de classe de diviseur # fibré # groupe de cohomologie # théorème de Grothendieck # théorème de Riemann-Roch # courbe elliptique

13J10 ; 13A18 ; 13B22 ; 14H05 ; 14H52 ; 14H60 ; 14F05 ; 14C40 ; 32L10

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- 179 p.
ISBN 978-0-387-95432-5

Graduate texts in mathematics , 0215

Localisation : Collection 1er étage

fonction algébrique # courbe algébrique # fonction zeta # arithmétique des corps de fonction

14-01 ; 14Hxx ; 14H05 ; 11R42 ; 11R58

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- 188 p.
ISBN 978-0-8218-3307-0

Graduate studies in mathematics , 0055

Localisation : Collection 1er étage

courbe algébrique # fonction theta # fonction algébrique # module # variété de Jacobi # conique # cubique # surface de Riemann # module des surfaces de Riemann # relation de Schottky

14-01 ; 14H05 ; 14H42 ; 14K25 ; 30Fxx ; 32G15

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- 358 p.
ISBN 978-0-387-95335-9

Graduate texts in mathematics , 0210

Localisation : Collection 1er étage

théorie des nombres # corps de fonction # loi de réciprocité # fonction zeta # groupe des classes # corps de fonction cyclotomique # conjecture de Brumer-Stark # formule du nombre de classe # hypothèse de Riemann

11R29 ; 11R58 ; 14H05

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- 244 p.
ISBN 978-0-521-66543-8

London mathematical society lecture note series , 0285

Localisation : Collection 1er étage

courbe # corps fini # point rationnel # corps de fonction # corps de classe # théorie des codes # cryptographie

14Hxx ; 11Gxx ; 14H05 ; 11G20 ; 11G30 ; 14G05 ; 14G50 ; 14D10

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