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Research schools;Computer Science;Control Theory and Optimization;Partial Differential Equations

Recently, an important research activity on mean field games (MFGs for short) has been initiated by the pioneering works of Lasry and Lions: it aims at studying the asymptotic behavior of stochastic differential games (Nash equilibria) as the number $n$ of agents tends to infinity. The field is now rapidly growing in several directions, including stochastic optimal control, analysis of PDEs, calculus of variations, numerical analysis and computing, and the potential applications to economics and social sciences are numerous.
In the limit when $n \to +\infty$, a given agent feels the presence of the others through the statistical distribution of the states. Assuming that the perturbations of a single agent's strategy does not influence the statistical states distribution, the latter acts as a parameter in the control problem to be solved by each agent. When the dynamics of the agents are independent stochastic processes, MFGs naturally lead to a coupled system of two partial differential equations (PDEs for short), a forward Fokker-Planck equation and a backward Hamilton-Jacobi-Bellman equation.
The latter system of PDEs has closed form solutions in very few cases only. Therefore, numerical simulation are crucial in order to address applications. The present mini-course will be devoted to numerical methods that can be used to approximate the systems of PDEs.
The numerical schemes that will be presented rely basically on monotone approximations of the Hamiltonian and on a suitable weak formulation of the Fokker-Planck equation.
These schemes have several important features:

- The discrete problem has the same structure as the continous one, so existence, energy estimates, and possibly uniqueness can be obtained with the same kind of arguments

- Monotonicity guarantees the stability of the scheme: it is robust in the deterministic limit

- convergence to classical or weak solutions can be proved

Finally, there are particular cases named variational MFGS in which the system of PDEs can be seen as the optimality conditions of some optimal control problem driven by a PDE. In such cases, augmented Lagrangian methods can be used for solving the discrete nonlinear system. The mini-course will be orgamized as follows

1. Introduction to the system of PDEs and its interpretation. Uniqueness of classical solutions.

2. Monotone finite difference schemes

3. Examples of applications

4. Variational MFG and related algorithms for solving the discrete system of nonlinear equations
Recently, an important research activity on mean field games (MFGs for short) has been initiated by the pioneering works of Lasry and Lions: it aims at studying the asymptotic behavior of stochastic differential games (Nash equilibria) as the number $n$ of agents tends to infinity. The field is now rapidly growing in several directions, including stochastic optimal control, analysis of PDEs, calculus of variations, numerical analysis and ...

49K20 ; 49N70 ; 35F21 ; 35K40 ; 35K55 ; 35Q84 ; 65K10 ; 65M06 ; 65M12 ; 91A23 ; 91A15

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ISBN 978-0-273-08711-3

Research notes in mathematics , 0132

Localisation : Colloque 1er étage (GRAN)

35D10 ; 35J60 ; 35K55

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ISBN 978-0-8218-0243-4

Proceedings of symposia in pure mathematics

Localisation : Collection 1er étage

35J60 ; 35K55 ; 47H05 ; 47H15 ; 58E05

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ISBN 978-3-540-50111-4

Lecture notes in mathematics , 1324

Localisation : Disparu

analyse microlocale # analyse non lineaire # equation differentielle aux derivees partielles # equation elliptique # systeme hamiltonien # theorie de la dispersion

35-XX ; 35J65 ; 35K55 ; 35L70 ; 35P25

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ISBN 978-3-540-50111-4

Lecture notes in mathematics , 1324

Localisation : Collection 1er étage

equation differentielle aux derivees partielles

35-XX ; 35J65 ; 35K55 ; 35L70 ; 35P25

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ISBN 978-3-540-55595-7

Lecture notes in mathematics , 1521

Localisation : Collection 1er étage

biologie # chimie # economie # industrie # mathematique appliquee # mathematique de l'industrie # mathematique pour l'ingenieur # mecanique # mecanique des fluides # modele mathematique # outil mathematique # physiqu e

00A71 ; 34A55 ; 35K55 ; 35R30 ; 35R35

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ISBN 978-3-540-56250-4

Lecture notes in mathematics , 1527

Localisation : Collection 1er étage

large déviation # mouvement brownien au niveau du plan # probabilité # théorème limite # équation différentielle aux dérivées partielles linéaires

35A25 ; 35B40 ; 35C20 ; 35K55 ; 60-02

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ISBN 978-3-540-56250-4

Lecture notes in mathematics , 1527

Localisation : Collection 1er étage

grande déviation # mouvement brownien # plan # probabilité # théorème limite # équation différentielle aux dérivées partielles

35A25 ; 35B40 ; 35C20 ; 35K55 ; 60-02

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ISBN 978-3-540-06251-6

Lecture notes in mathematics , 0322

Localisation : Collection 1er étage

analyse asymptotique de classe d'équation intégrale non liné # bifurcation et stabilité # branchement à partir de valeur propre multiple # mathématique en biologie théorique # mécanique statistique de processus de non équilibre # mémoire s'altérant et équation fonctionnelle différentielle # méthode de Lyapunov et équation du type parabolique # perturbation singulière par opérateur quasi-linéaire # problème nonlinéaire en physique et en biologie # solution multiple d'EDP non linéaire # solution quasi-périodique bifurcant à partir de solution pér # théorie ergodique # tore invariant # équation de Navier-Stokes analyse asymptotique de classe d'équation intégrale non liné # bifurcation et stabilité # branchement à partir de valeur propre multiple # mathématique en biologie théorique # mécanique statistique de processus de non équilibre # mémoire s'altérant et équation fonctionnelle différentielle # méthode de Lyapunov et équation du type parabolique # perturbation singulière par opérateur quasi-linéaire # problème nonlinéaire en physique et en biologie ...

34D30 ; 34K99 ; 35Bxx ; 35J99 ; 35K55

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ISBN 978-3-540-60047-3

Lecture notes in mathematics , 1609

Localisation : Collection 1er étage

EDP non linéaire de type parabolique # analyse globale # comportement asymptotique des EDP # dynamique topologique # intégrale stochastique # problème aux valeurs initiales # structure d'attracteur # système d'équation à coéfficient constant # système dynamique aléatoire # système dynamique de domaine fin # théorie de l'index # théorie de l'indice de Conley # théorie des perturbations # théorie qualitative des EDP # équation de Navier-Stokes # équation de la physique mathématique # équation différentielle aux dérivées partielles # équation différentielle ordinaire stochastique EDP non linéaire de type parabolique # analyse globale # comportement asymptotique des EDP # dynamique topologique # intégrale stochastique # problème aux valeurs initiales # structure d'attracteur # système d'équation à coéfficient constant # système dynamique aléatoire # système dynamique de domaine fin # théorie de l'index # théorie de l'indice de Conley # théorie des perturbations # théorie qualitative des EDP # équation de Navier-Stokes # ...

34C35 ; 34C37 ; 34E15 ; 35B40 ; 35K55

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ISBN 978-0-387-94624-5

The IMA volumes in mathematics and its applications , 0077

Localisation : Colloque 1er étage (MINN)

approximation # comportement métastable # densité de choc # filtrage non linéaire # fluctuation d'équilibre # gaz de treillis réversible sous-mesure de Bernoulli # limite hydrodynamique # milieu aléatoire # milieu désordonné # modèlisation mésoscopique # perturbation aléatoire # problème stochastique # simulation stochastique de flux turbulent # solution statistique # spectre d'énergie algèbrique # système de particule réversible pas par le gradient # système de treillis de type champ en moyenne # turbulence de Burgers # équation de Burgers avec bruit # équation de Navier-Stokes incompressible # équation de Navier-Stokes stochastique # équation de modèle # équation de réaction diffusion approximation # comportement métastable # densité de choc # filtrage non linéaire # fluctuation d'équilibre # gaz de treillis réversible sous-mesure de Bernoulli # limite hydrodynamique # milieu aléatoire # milieu désordonné # modèlisation mésoscopique # perturbation aléatoire # problème stochastique # simulation stochastique de flux turbulent # solution statistique # spectre d'énergie algèbrique # système de particule réversible pas par le ...

35K55 ; 35K57 ; 35L57 ; 35Q30 ; 35Q35

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- 281 p.
ISBN 978-3-540-26069-1

Lecture notes in mathematics , 1869

Localisation : Collection 1er étage

fractale # interface # mécanique statistique # mesure de Hausdorff # point le plus visité # temps de couverture # fractale aléatoire # limite hydrodynamique

60J10 ; 60J65 ; 60K35 ; 28A80 ; 28A78 ; 31C15 ; 82C41 ; 82B24 ; 82B31 ; 82B41 ; 82C24 ; 35J20 ; 35K55 ; 35R35

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- 235 p.
ISBN 978-0-8218-3361-2

Contemporary mathematics , 0367

Localisation : Collection 1er étage

équation différentielle parabolique # équation d'évolution # flot de Ricci # géométrie riemanienne # immersion

53C44 ; 53C21 ; 35K55 ; 57M50 ; 35K57 ; 53C42 ; 53C43 ; 58J05 ; 53C35 ; 58J35

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- 123 p.
ISBN 978-0-8218-3891-4

Contemporary mathematics , 0409

Localisation : Collection 1er étage

équation différentielle aux dérivées partielles # EDP # comportement asymptotique des solutions # EDP non linéaire de type parabollique # problème variationnel # intéraction fluide-solide # dynamique quantique

35B37 ; 35B40 ; 35K55 ; 49Q20 ; 74F10 ; 82C10

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- 519 p.
ISBN 978-3-7643-8457-9

Progress in probability , 0059

Localisation : Colloque 1er étage (ASCO)

EDP stochastique # système dynamique # analyse fonctionnelle infinie dimensionnelle # méthode probabiliste dans la théorie des espaces de Banach # approximation # ingénierie financière

60-06 ; 34A34 ; 35B35 ; 35K55 ; 35K57 ; 35Q53 ; 37A25 ; 37h05 ; 37L05 ; 37L40 ; 39B62 ; 46B09 ; 46E30 ; 47G99 ; 49N15 ; 60Gxx ; 60Hxx ; 60J60 ; 65C30 ; 65G99 ; 76F05 ; 76M35 ; 82D30 ; 91B28 ; 93E20

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- ix; 307 p.
ISBN 978-0-8218-8736-3

Contemporary mathematics , 0594

Localisation : Collection 1er étage

équation différentielle non linéaire # équation différentielle parabolique

35-06 ; 34-06 ; 35K55 ; 35L70 ; 47-06 ; 58-06 ; 35Q91 ; 00B25 ; 00B30

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- 294 p.
ISBN 978-4-86497-028-0

Advanced studies in pure mathematics , 0067

Localisation : Collection 1er étage

calcul des variations # inégalité variationnelle

49J40 ; 35K55 ; 49Q20

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- viii; 404 p.
ISBN 978-1-4704-1521-1

Contemporary mathematics , 0666

Localisation : Collection 1er étage

Hugo Beirao de Veiga # équation aux dérivées partielles

35-06 ; 76-06 ; 35A01 ; 35B40 ; 35J60 ; 35K55 ; 35L70 ; 65N06 ; 76D05

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Research talks;Partial Differential Equations;Dynamical Systems and Ordinary Differential Equations

We consider parabolic equations of the form $u_t = u_{xx} + f (u)$ on the real line. Unlike their counterparts on bounded intervals, these equations admit bounded solutions whose large-time dynamics is not governed by steady states. Even with respect to the locally uniform convergence, the solutions may not be quasiconvergent, that is, their omega-limit sets may contain nonstationary solutions.
We will start this lecture series by exhibiting several examples of non-quasiconvergent solutions, discussing also some entire solutions appearing in their omega-limit sets. Minimal assumptions on the nonlinearity are needed in the examples, which shows that non-quasiconvergent solutions occur very frequently in this type of equations. Our next goal will be to identify specific classes of initial data that lead to quasiconvergent solutions. These include localized initial data (joint work with Hiroshi Matano) and front-like initial data. Finally, in the last part of these lectures, we take a more global look at the solutions with such initial data. Employing propagating terraces, or stacked families of traveling fronts, we describe their entire spatial profile at large times.
We consider parabolic equations of the form $u_t = u_{xx} + f (u)$ on the real line. Unlike their counterparts on bounded intervals, these equations admit bounded solutions whose large-time dynamics is not governed by steady states. Even with respect to the locally uniform convergence, the solutions may not be quasiconvergent, that is, their omega-limit sets may contain nonstationary solutions.
We will start this lecture series by exhibiting ...

35B40 ; 35K15 ; 35K55

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Research talks;Partial Differential Equations

In this talk I will report on some of the progress made by the author and collaborators on the topic of nonlinear diffusion equations involving long distance interactions in the form of fractional Laplacian operators. The nonlinearities are of the following types: porous medium, fast diffusion or p-Laplacian. Results cover well-posedness, regularity, free bouncadaries, asymptotics, extinction, and others. Differences with standard diffusion have been specially examined. In this talk I will report on some of the progress made by the author and collaborators on the topic of nonlinear diffusion equations involving long distance interactions in the form of fractional Laplacian operators. The nonlinearities are of the following types: porous medium, fast diffusion or p-Laplacian. Results cover well-posedness, regularity, free bouncadaries, asymptotics, extinction, and others. Differences with standard diffusion have ...

26A33 ; 35K55 ; 35K65 ; 35S10

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