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The cubic Szegö equation has been introduced as a toy model for totally non dispersive evolution equations. It turned out that it is a complete integrable Hamiltonian system for which we built a non linear Fourier transform giving an explicit expression of the solutions.
This explicit formula allows to study the dynamics of the solutions. We will explain different aspects of it: almost-periodicity of the solutions in the energy space, uniform analyticity for a large set of initial data, turbulence phenomenon for a dense set of smooth initial data in large Sobolev spaces.
From joint works with Patrick Gérard.
The cubic Szegö equation has been introduced as a toy model for totally non dispersive evolution equations. It turned out that it is a complete integrable Hamiltonian system for which we built a non linear Fourier transform giving an explicit expression of the solutions.
This explicit formula allows to study the dynamics of the solutions. We will explain different aspects of it: almost-periodicity of the solutions in the energy space, uniform ...
35B40 ; 35B15 ; 35Q55 ; 37K15 ; 47B35
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- 323 p.
ISBN 978-0-8218-2885-4
CRM proceedings & lecture notes , 0032
Localisation : Collection 1er étage
système dynamique différentiable # géométrie algébrique # EDP # propriété de Kowaleski # singularité # équation de Painlevé # déformation isomonodromique # système complètement intégrable # soliton # monodromie
17B80 ; 37J35 ; 35Q58 ; 37K10 ; 70E40 ; 70H06 ; 81R12 ; 37K15 ; 14H70 ; 81U15
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- xiii, 430 p.
ISBN 978-0-8218-4240-9
Contemporary mathematics , 0458
Localisation : Collection 1er étage
matrice aléatoire # problème Riemann-Hilbert # équation Schrödinger non-linéaire # équation complètement intégrable # méthode spectrale inverse # méthode dispersion # théorie soliton # mécanique statistique # EDP # système dynamique # système Hamiltonien
15A52 ; 35Q15 ; 35Q55 ; 35Q58 ; 37K15 ; 37K40 ; 42C05 ; 60K35 ; 60G60
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- x; 528 p.
ISBN 978-1-4939-9805-0
Fields Institute Communications , 0083
Localisation : Collection 1er étage
équation aux dérivées partielles # équation non linéaire dispersive # équation de Schrödinger non linéaire focalisante # modèle de Thirring # équation de Benjamin-Bona-Mahoney # équation de Kadomtsev-Petviashvili # équation de Zakharov-Kuznetsov # équation de Gross-Pitaevskii # équation de Korteweg-de Vries # théorie de la diffusion inverse # dispersion
35P25 ; 35Q53 ; 35Q55 ; 35Q15 ; 35Q35 ; 37K15 ; 37K40 ; 00B25
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Partial Differential Equations
We consider the Derivative Nonlinear Schrödinger equation for general initial conditions in weighted Sobolev spaces that can support bright solitons (but exclude spectral singularities). We prove global wellposedness and give a full description of the long-time behavior of the solutions in the form of a finite sum of localized solitons and a dispersive component. Our analysis provides explicit formulae for the multi-soliton component as well as the correction dispersive term. We use the inverse scattering approach and the nonlinear steepest descent method of Deift and Zhou (1993) revisited by the $\bar{\partial}$-analysis of Dieng-McLaughlin (2008) and complemented by the recent work of Borghese-Jenkins-McLaughlin (2016) on soliton resolution for the focusing nonlinear Schrödinger equation. This is a joint work with R. Jenkins, J. Liu and P. Perry.
We consider the Derivative Nonlinear Schrödinger equation for general initial conditions in weighted Sobolev spaces that can support bright solitons (but exclude spectral singularities). We prove global wellposedness and give a full description of the long-time behavior of the solutions in the form of a finite sum of localized solitons and a dispersive component. Our analysis provides explicit formulae for the multi-soliton component as well as ...
35Q55 ; 37K15 ; 37K40 ; 35P25 ; 35A01
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- 1070 p.
ISBN 978-3-7643-6995-8
Progress in mathematics , 0219
Localisation : Collection 1er étage
système dynamique # système hamiltonien # mécanique hamiltonienne # treillis # système complètement intégrable # treillis de Toda # treillis de Volterra # discretisation # algèbre de Lie # soliton # matrice # relativité # hiérarchie d'Ablowitz-Ladik # équation de Camassa-Holm # système de Garnier # système de Neumann # système multi-corps # dynamique de corps rigides
31-01 ; 35J05 ; 37J15 ; 37J35 ; 37K05 ; 37K10 ; 37K15 ; 37K30 ; 35Q51 ; 35Q53 ; 35Q55 ; 35Q58 ; 37MXX ; 39A12 ; 70E40 ; 70H06
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- 257 p.
ISBN 978-0-521-53437-6
London mathematical society lecture note series , 0302
Localisation : Collection 1er étage
équation de Schrödinger non-linéaire # transformation de diffusion inverse # transformation de scattering inverse # soliton # treillis de Toda
37K15 ; 35P25 ; 35Q55 ; 37K10 ; 39A12
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- 279 p.
ISBN 978-3-540-02234-3
Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete , 0045
Localisation : Ouvrage RdC (KAPP)
équation de Korteweg de Vries # système hamiltonien # problème aux limites # perturbation # théorie de Kolmogorov-Arnold-Moser # théorème KAM
37-02 ; 34B30 ; 35B20 ; 35Q53 ; 37K15 ; 37K55 ; 37K10 ; 37J10
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- viii; 166 p.
ISBN 978-3-03719-131-6
EMS series of lectures in mathematics
Localisation : Ouvrage RdC (GREB)
forme normale # équation aux dérivées partielles # équation de Schrödinger # défocalisation # opérateur de Zakharov-Shabat
35Q55 ; 37K15 ; 37K10 ; 34L40 ; 34L20 ; 35-02 ; 35Q53
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- vi; 112 p.
ISBN 978-2-85629-854-1
Astérisque , 0389
Localisation : Périodique 1er étage
équation de Szegö cubique # système intégrable # équation de Schrödinger non linéaire # opérateur de Hankel # analyse spectrale
35B15 ; 47B35 ; 37K15
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