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Documents  Critères de recherche : "Rational points" | enregistrements trouvés : 19

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Research talks;Algebra;Number Theory

Rational points on smooth projective curves of genus $g \ge 2$ over number fields are in finite number thanks to a theorem of Faltings from 1983. The same result was known over function fields of positive characteristic since 1966 thanks to a theorem of Samuel. The aim of the talk is to give a bound as uniform as possible on this number for curves defined over such fields. In a first part we will report on a result by Rémond concerning the number field case and on a way to strengthen it assuming a height conjecture. During the second part we will focus on function fields of positive characteristic and describe a new result obtained in a joined work with Pacheco. Rational points on smooth projective curves of genus $g \ge 2$ over number fields are in finite number thanks to a theorem of Faltings from 1983. The same result was known over function fields of positive characteristic since 1966 thanks to a theorem of Samuel. The aim of the talk is to give a bound as uniform as possible on this number for curves defined over such fields. In a first part we will report on a result by Rémond concerning the ...

14G05 ; 11G35

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- 189 p.
ISBN 978-3-528-08593-3

Aspects of mathematics

Localisation : Ouvrage RdC (FALT)

10B99 ; 14Gxx

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- 287 p.
ISBN 978-0-8176-3259-5

Progress in mathematics , 0226

Localisation : Collection 1er étage

géométrie arithmétique # variété de dimension supérieur # équation diophantienne # équation de plusieurs variables # théorie spectrale # variété sur un corp global # approximation faible # anneau de Cox # torseur universel # point rationnel # surface de Del Pezzo # théorie analytique des nombres

11D45 ; 11D72 ; 11F72 ; 11G35 ; 11G50 ; 11Y50 ; 14E30 ; 14G05 ; 14G25

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- vii; 165 p.
ISBN 978-1-4704-1458-0

Contemporary mathematics , 0654

Localisation : Collection 1er étage

géométrie algébrique # point rationnel # courbe rationnelle # courbe holomorphe entière # variété algébrique # approximation Diophantienne

11Gxx ; 14Gxx ; 14G05 ; 11K60 ; 14M22 ; 37PXX ; 14G40 ; 14M99 ; 14-06 ; 11-06 ; 14C30 ; 14J26 ; 14H10 ; 11G35 ; 00B25

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Research talks;Algebraic and Complex Geometry;Logic and Foundations

We will present some of the original definitions, results, and proof techniques about Pfaffian functions on the reals by Khovanskii.
A simple example of a Pfaffian function is an analytic function $f$ in one variable $x$ satisfying a differential equation $f^\prime = P(x,f)$ where $P$ is a polynomial in two variables. Khovanskii gives a notion of complexity of Pfaffian functions which in the example is just the degree of $P$. Using this complexity, he proves analogues of Bézout's theorem for Pfaffian curves (say, zero loci of Pfaffian functions in two variables), with explicit upper bounds in terms of the ocurring complexities.
We explain a recent application by J. Pila and others to a low-dimensional case of Wilkie's conjecture on rational points of bounded height on restricted Pfaffian curves. The result says that the number of rational points of height bounded by $T$, on a transcendental restricted Pfaffian curve, grows at most as a power of log$(T)$ as $T$ grows. This improves the typical upper bound $T^\epsilon$ in Pila-Wilkie's results in general o-minimal structures, the improvement being due to extra geometric Bézout-like control.
In the non-archimedean setting, I will explain analogues of some of these results and techniques, most of which are (emerging) work in progress with L. Lipshitz, F. Martin and A. Smeets. Some ideas in this case come from work by Denef and Lipshitz on variants of Artin approximation in the context of power series solution.
We will present some of the original definitions, results, and proof techniques about Pfaffian functions on the reals by Khovanskii.
A simple example of a Pfaffian function is an analytic function $f$ in one variable $x$ satisfying a differential equation $f^\prime = P(x,f)$ where $P$ is a polynomial in two variables. Khovanskii gives a notion of complexity of Pfaffian functions which in the example is just the degree of $P$. Using this ...

03C98 ; 14G05 ; 14H05 ; 58A17

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Research talks;Algebraic and Complex Geometry;Number Theory

We construct curves over finite fields with properties similar to those of classical elliptic or Drinfeld modular curves (as far as elliptic points, cusps, ramification, ... are concerned), but whose coverings have Galois groups of type $\mathbf{GL}(r)$ over finite rings $(r\ge 3)$ instead of $\mathbf{GL}(2)$. In the case where the finite field is non-prime, there results an abundance of series or towers with a large ratio "number of rational points/genus". The construction relies on higher-rank Drinfeld modular varieties and the supersingular trick and uses mainly rigid- analytic techniques. We construct curves over finite fields with properties similar to those of classical elliptic or Drinfeld modular curves (as far as elliptic points, cusps, ramification, ... are concerned), but whose coverings have Galois groups of type $\mathbf{GL}(r)$ over finite rings $(r\ge 3)$ instead of $\mathbf{GL}(2)$. In the case where the finite field is non-prime, there results an abundance of series or towers with a large ratio "number of rational ...

11G09 ; 11G20 ; 14G15

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Research talks;Algebraic and Complex Geometry;Logic and Foundations;Number Theory

In the spirit of famous papers by Pila & Bombieri and Pila & Wilkie, I will explain how to bound the number of rational points, with respect to their height, in various kinds of sets, such as transcendental sets definable in some o-minimal - or even not o-minimal - structure over the real field. I will emphazise the role played by bounds on derivatives and on sets of zeroes in this context.

03C98 ; 11D88 ; 14G05

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- 281 p.
ISBN 978-0-387-97825-3

Undergraduate texts in mathematics

Localisation : Ouvrage RdC (SILV)

analyse diophantienne # courbe cubique # courbe elliptique # équation algébrique du 3ème cycle # groupe de points rationnels # point rationnel

11D25 ; 11G05

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- pag. mult.

Localisation : Ouvrage RdC (SERR)

corps finis # courbe # point rationnel

11Txx ; 14Hxx

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- 244 p.
ISBN 978-0-521-66543-8

London mathematical society lecture note series , 0285

Localisation : Collection 1er étage

courbe # corps fini # point rationnel # corps de fonction # corps de classe # théorie des codes # cryptographie

14Hxx ; 11Gxx ; 14H05 ; 11G20 ; 11G30 ; 14G05 ; 14G50 ; 14D10

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- 446 p.
ISBN 978-3-7643-6612-4

Progress in mathematics , 0199

Localisation : Collection 1er étage

géométrie algébrique # théorie des nombres # variété algébrique # point rationnel # arithmétique # courbe # faisceau ponctuel # géométrie diophantienne # courbe rationnelle

14G05 ; 11G35

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- 129 p.
ISBN 978-0-8218-2868-7

CBMS regional conference series in mathematics , 0101

Localisation : Collection 1er étage

courbe elliptique # courbe modulaire # point rationnel # multiplication complexe # conjecture de Birch-Swinnerton-Dyer # point de Heegner # courbe de Shimura #théorème de Kolyvagin # arithmétique des courbes elliptiques # corps local

11G40 ; 11F67 ; 11F85 ; 11G05 ; 11G18

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- xxi; 346 p.
ISBN 978-1-4020-1766-7

Mathematics and its applications , 0564

Localisation : Ouvrage RdC (HURT)

courbe algébrique # corps finis # points rationnels # variétés abéliennes # cryptographie # théorie des codes # codes de Goppa # courbe de Shimura # espace de Deligne-Lusztig # module de Drinfeld

11G20 ; 11-02 ; 14-02 ; 14G05 ; 14G15 ; 11T71 ; 14G50 ; 94B27 ; 94A60

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- xx; 249 p.
ISBN 978-3-642-30673-0

Lecture notes in mathematics , 2054

Localisation : Collection 1er étage

point rationnel # groupe fondamental # obstruction de Brauer-Manin # conjecture de Grothendieck

14H30 ; 14G05 ; 14H25 ; 11G20 ; 14G32 ; 14F35 ; 14-02 ; 14G99

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- ix; 459 p.
ISBN 978-1-107-61612-7

London mathematical society lecture note series , 0405

Localisation : Collection 1er étage

théorie de la torsion # homotopie # points rationnels # espaces homogènes

14-06 ; 14F35 ; 14G05 ; 14L24

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- viii; 267 p.
ISBN 978-1-4704-1882-3

Mathematical surveys and monographs , 0198

Localisation : Collection 1er étage

variété algébrique # géométrie algébrique # groupes de Brauer # point rationnel # mesure de Tamagawa # variété de Fano # conjecture de Manin # hauteur

14-02 ; 14F22 ; 14G05 ; 14J45 ; 11G35 ; 11G50

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- xv; 337 p.
ISBN 978-1-4704-3773-2

Graduate studies in mathematics , 0186

Localisation : Collection 1er étage

géométrie algébrique # point rationnel # variété algébrique

14G05 ; 11G35 ; 14-02 ; 14G25

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- pag. mult.

Localisation : Ouvrage RdC (SERR)

nombre de points rationnels # théorème de Golod-Safarevic # théorème d'Ihara # théorème d'Oesterlé # fontion zeta # courbe sur un champ fini # estimation de Weil

14G05 ; 14G15 ; 14H25 ; 14N10

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- xxii; 179 p.
ISBN 978-2-85629-359-1

Panoramas et synthèses , 0036

Localisation : Collection 1er étage

théorie des nombres # équation diophantienne # courbe elliptique # méthode de Coleman # équation de Fermat

11D41 ; 11G05 ; 11G20 ; 11G30 ; 11G40 ; 11Y16 ; 11Y99 ; 14G05 ; 14H52 ; 14K20

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