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H 1 Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur) - Partie 2

Auteurs : Bouttier, Jérémie (Auteur de la Conférence)
CIRM (Editeur )

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    Résumé : Le but de ce cours sera de présenter quelques techniques liées aux processus de Schur, dans le cadre le plus simple de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers.
    La mesure de Plancherel est une mesure sur l'ensemble des partitions d'un entier n, où une partition donnée apparaît avec une probabilité proportionnelle au carré de son nombre de tableaux de Young standard. Cette mesure apparaît très naturellement en lien avec le fameux problème de Ulam-Hammersley, qui consiste à étudier la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme de {1,...,n}. Il est en fait fructueux de travailler avec une version "poissonisée" du problème, où la taille n est tirée selon une loi de Poisson, dont on fera tendre le paramètre vers l'infini afin d'étudier les asymptotiques.
    Dans la première séance, nous verrons que la mesure de Plancherel poissonisée est en fait un processus déterminantal, dont le noyau de corrélation fait intervenir les fonctions de Bessel. Nous utiliserons pour cela le formalisme de l'espace de Fock fermionique. (Toutes les notions nécessaires seront introduites au fur et à mesure, de la manière la plus élémentaire possible.)
    Dans la seconde séance, nous étudierons les différentes asymptotiques du noyau de corrélation, par une application élégante de la méthode du col due à Okounkov et Reshetikhin. Nous verrons en particulier apparaître un phénomène de forme-limite, le noyau sinus discret dans le cas des limites "bulk" et le noyau d'Airy dans la limite "edge". In fine, nous aboutirons à une preuve du théorème de Baik-Deift-Johansson (1998) énonçant que les fluctuations de la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme ont asymptotiquement la même distribution que la plus grande valeur propre d'une matrice hermitienne aléatoire.

    Keywords : Young diagram; Plancherel measure; permutations; Baik-Deift-Johannson theorem; Ulam-Hammersley problem

    Codes MSC :
    05A17 - Partitions of integers (combinatorics)
    05E10 - Combinatorial aspects of representation theory
    60C05 - Combinatorial probability
    60G55 - Point processes

    Ressources complémentaires :
    https://www.cirm-math.fr/RepOrga/1952/Slides/Bouttier_Alea.pdf

      Informations sur la Vidéo

      Langue : Français
      Date de publication : 09/04/2019
      Date de captation : 21/03/2019
      Collection : Research schools
      Format : MP4
      Durée : 01:17:33
      Domaine : Combinatorics ; Probability & Statistics
      Audience : Chercheurs ; Doctorants , Post - Doctorants ; Etudiants Science Cycle 2
      Download : https://videos.cirm-math.fr/2019-03-21_Bouttier_Part2.mp4

    Informations sur la rencontre

    Nom de la rencontre : ALEA Days / Journées ALEA
    Organisateurs de la rencontre : Chapuy, Guillaume ; Goldschmidt, Christina ; Duchi, Enrica
    Dates : 18/03/2019 - 22/03/2019
    Année de la rencontre : 2019
    URL Congrès : https://conferences.cirm-math.fr/1952.html

    Citation Data

    DOI : 10.24350/CIRM.V.19507803
    Cite this video as: Bouttier, Jérémie (2019). Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur) - Partie 2. CIRM. Audiovisual resource. doi:10.24350/CIRM.V.19507803
    URI : http://dx.doi.org/10.24350/CIRM.V.19507803


    Voir aussi

    Bibliographie

    1. Romik, D. (2015). The surprising mathematics of longest increasing subsequences. Cambridge: Cambridge University Press - https://doi.org/10.1017/CBO9781139872003

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