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Documents  Pisier, Gilles | enregistrements trouvés : 11

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Publications mathematiques de l'universite paris vii , 0026

Localisation : Publication 1er étage

analyse fonctionnelle

46-02

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Research talks;Analysis and its Applications

This is joint work with Éric Ricard. We give a proof of the Khintchine inequalities in non- commutative $L_p$-spaces for all $0 < p < 1$. This case remained open since the first proof given by Francoise Lust-Piquard in 1986 for $1 < p < \infty$. These inequalities are valid for the Rademacher functions or Gaussian random variables, but also for more general sequences, e.g. for lacunary Fourier series or the analogues of Gaussian variables in free probability.

The Khintchine inequalities for non-commutative $L_p$-spaces play an important roˆle in the recent developments in non-commutative Functional Analysis, and in particular in Operator Space Theory. Just like their commutative counterpart for ordinary $L_p$-spaces, they are a crucial tool to understand the behavior of unconditionally convergent series of random variables, or random vectors, in non-commutative $L_p$. The commutative version for $p = 1$ is closely related to Grothendieck’s Theorem. In the most classical setting, the non-commutative Khintchine inequalities deal with Rademacher series of the form

$S=\sum_kr_k(t)x_k$

where $(r_k)$ are the Rademacher functions on the Lebesgue interval where the coefficients $x_k$ are in the Schatten $q$-class or in a non-commutative $L_q$-space associated to a semifinite trace $\tau$. Let us denote simply by $||.||_q$ the norm (or quasi-norm) in the latter Banach (or quasi-Banach) space, that we will denote by $L_q(\tau)$. When $\tau$ is the usual trace on $B(\ell_2)$, we recover the Schatten $q$-class. By Kahane’s well known results, $S$ converges almost surely in norm if it converges in $L_q(dt;L_q(\tau))$. Thus to characterize the almost sure norm-convergence for series such as $S$, it suffices to produce a two sided equivalent of $||S||_{L_q(dt;L_q(\tau))}$ when $S$ is a finite sum, and this is precisely what the non-commutative Khintchine inequalities provide :
For any $0 < q < \infty$ there are positive constants $\alpha_q,\beta_q$ such that for any finite set $(x_1, . . . , x_n)$ in $L_q(\tau)$ we have

$(\beta_q)^{-1}|||(x_k)|||_q\leq\left(\int||S(t)||^q_qdt\right)^{1/q}\leq\alpha_q|||(x_k)|||_q$

where $|||(x_k)|||_q$ is defined as follows :
If $2\le q<\infty$

$|||x_k|||_q \overset{def}{=} \max\lbrace ||(\sum x^*_k x_k)^{1/2} ||_q, ||(\sum x_kx^*_k)^{1/2}||_q\rbrace$ (1)

and if $0\le q<2$:

$|||x|||_q \overset{def}{=} \underset{x_k=a_k+b_k}{inf} \lbrace ||(\sum a^*_ka_k)^{1/2} ||_q + ||(\sum b_kb^*_k)^{1/2}||_q\rbrace$. (2)

Note that $\beta=1$ if $q\ge2$, while $\alpha_q=1$ if $q\le2$ and the corresponding one sided bounds are easy. The difficulty is to verify the other side.
This is joint work with Éric Ricard. We give a proof of the Khintchine inequalities in non- commutative $L_p$-spaces for all $0 < p < 1$. This case remained open since the first proof given by Francoise Lust-Piquard in 1986 for $1 < p < \infty$. These inequalities are valid for the Rademacher functions or Gaussian random variables, but also for more general sequences, e.g. for lacunary Fourier series or the analogues of Gaussian variables in ...

46L51 ; 46L07 ; 47L25 ; 47L20

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- v; 78 p.
ISBN 978-0-8218-4842-5

Memoirs of the american mathematical society , 0208

Localisation : Collection 1er étage

interpolations # espace de Hilbert # espace d'opérateur # espace de Banach

46B70 ; 47B10 ; 46M05 ; 47A80 ; 46-02 ; 47-02

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- 478 p.
ISBN 978-0-521-81165-1

London mathematical society lecture note series , 0294

Localisation : Collection 1er étage

espace d'opérateur # théorie des opérateurs # produit tensor # c*algèbre # algèbre d'opérateur non-autoadjoint # similarité

46-01 ; 47-01 ; 46L07 ; 47L25

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- 198 p.
ISBN 978-3-540-41524-4

Lecture notes in mathematics , 1618

Localisation : Collection 1er étage

théorie des opérateurs # structure d'opérateur linéaire # représentation de groupe # inégalité de Grothendieck # inégalité de Von Neumann # généralisation de Ando # application complètement bornée # problème de similarité # c*-algèbre # facteur de Schur # problème de Halmos # problème de Kadison

47A05 ; 46L05 ; 43A65

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- 129 p.

Astérisque , 0247

Localisation : Périodique 1er étage;Réserve;Réserve

Lp-espace non-commutative # groupe libre # multiples de Fourier # multples de Schur # opérateur d'espace # p-classe de Shatten

46B70 ; 46E40 ; 46L50 ; 47B10 ; 47D15

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- 250 p.
ISBN 978-0-521-36465-2

Cambridge tracts in mathematics , 0094

Localisation : Collection 1er étage;Réserve

analyse fonctionnelle # ensemble convexe # espace de Banach de dimension finie # espace de vecteur # espace linéaire borné # géométrie discrète convexe # topologie

46B20 ; 52A07 ; 52A21

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ISBN 978-3-540-60322-1

Lecture notes in mathematics , 1618

Localisation : Collection 1er étage

application bornée complètement # dérivation # espace de Banach # généralisation d'Ando d'inégalité de Von Neumann # homomorphisme cyclique sur C*- algèbre # inégalité de Grothendieck # multiplicateur de Herz-Schur # multiplicateur de Schur hankelien # problème de similarité # représentation de groupe borné uniformément non-unitarisable

43A65 ; 46L05 ; 47A05

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ISBN 978-0-8218-0474-2

Memoirs of the american mathematical society , 0585

Localisation : Collection 1er étage

analyse fonctionnelle # espace de Hilbert d'opérateurs OH # factorisation # interpolation complexe # norme de tenseur # norme duale de gamma- norme # opérateur (2,w)-sommant # opérateur se mettant en facteur à travers OH # poids sur espace vectoriel partiellement ordonné # produit tensoriel oh # théorie locale des espaces d'opérateurs

46B99 ; 46C99 ; 46L99

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- 150 p.
ISBN 978-0-691-08292-9

Annals of mathematics studies , 0101

Localisation : Ouvrage RdC (MARC)

analyse harmonique # série aléatoire de Fourier

42Cxx ; 43A70

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- 154 p.
ISBN 978-0-8218-0710-1

CBMS regional conference series in mathematics , 0060

Localisation : Collection 1er étage

espace de Banach # factorisation des opérateurs # opérateur linéaire

46B99 ; 46M05 ; 47B10

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