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Research talks;Number Theory

Bounded remainder sets for a dynamical system are sets for which the Birkhoff averages of return times differ from the expected values by at most a constant amount. These sets are rare and important objects which have been studied for over 100 years. In the last few years there have been a number of results which culminated in explicit constructions of bounded remainder sets for toral rotations in any dimension, of all possible allowable volumes. In this talk we are going to explain these results, and then explain how to generalize them to give explicit constructions of bounded remainder sets for rotations in $p$-adic solenoids. Our method of proof will make use of a natural dynamical encoding of patterns in non-Archimedean cut and project sets. Bounded remainder sets for a dynamical system are sets for which the Birkhoff averages of return times differ from the expected values by at most a constant amount. These sets are rare and important objects which have been studied for over 100 years. In the last few years there have been a number of results which culminated in explicit constructions of bounded remainder sets for toral rotations in any dimension, of all possible allowable ...

11K06 ; 11K38 ; 11J71

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Research talks;Number Theory

Let $\alpha$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^d$ be a vector whose entries $\alpha_1, . . . , \alpha_d$ and $1$ are linearly independent over the rationals. We say that $S \subset \mathbb{T}^d$ is a bounded remainder set for the sequence of irrational rotations $\lbrace n\alpha\rbrace_{n\geqslant1}$ if the discrepancy
$ \sum_{k=1}^{N}1_S (\lbrace k\alpha\rbrace) - N$ $mes(S)$
is bounded in absolute value as $N \to \infty$. In one dimension, Hecke, Ostrowski and Kesten characterized the intervals with this property.
We will discuss the bounded remainder property for sets in higher dimensions. In particular, we will see that parallelotopes spanned by vectors in $\mathbb{Z}\alpha + \mathbb{Z}^d$ have bounded remainder. Moreover, we show that this condition can be established by exploiting a connection between irrational rotation on $\mathbb{T}^d$ and certain cut-and-project sets. If time allows, we will discuss bounded remainder sets for the continuous irrational rotation $\lbrace t \alpha : t$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^+\rbrace$ in two dimensions.
Let $\alpha$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^d$ be a vector whose entries $\alpha_1, . . . , \alpha_d$ and $1$ are linearly independent over the rationals. We say that $S \subset \mathbb{T}^d$ is a bounded remainder set for the sequence of irrational rotations $\lbrace n\alpha\rbrace_{n\geqslant1}$ if the discrepancy
$ \sum_{k=1}^{N}1_S (\lbrace k\alpha\rbrace) - N$ $mes(S)$
is bounded in absolute value as $N \to \infty$. In one dimension, Hecke, ...

11K38 ; 11J71 ; 11K06

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- 139 p.
ISBN 978-0-907360-02-5

Localisation : Ouvrage RdC (HLAW)

approximation # distribution # distribution module # distribution uniforme # fonction zeta de Riemann # intégration numérique # théorie des nombres

10K05 ; 11J71 ; 11Mxx ; 11NXX ; 11Rxx

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Lecture notes in mathematics , 0029

Localisation : Collection 1er étage

approximation rationnelle de nombre irrationnel # congruence # domaine convexe # fonction de théorie des nombres # loi de réciprocité quadratique # représentativité d'un nombre entier positif en somme de 4 ca # reste quadratique # théorie des nombres analytique # théorème de Chebychev sur la partition des nombres premiers # théorème de Dirichlet des nombres premiers en progression ar # théorème de Kronceker # théorème de Minkowski sur les points de treillis # équirépartition modulo 1 des nombres par Weyl approximation rationnelle de nombre irrationnel # congruence # domaine convexe # fonction de théorie des nombres # loi de réciprocité quadratique # représentativité d'un nombre entier positif en somme de 4 ca # reste quadratique # théorie des nombres analytique # théorème de Chebychev sur la partition des nombres premiers # théorème de Dirichlet des nombres premiers en progression ar # théorème de Kronceker # théorème de Minkowski sur les points ...

11A07 ; 11A41 ; 11E25 ; 11Hxx ; 11J71

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Lecture notes in mathematics , 0117

Localisation : Collection 1er étage

analyse harmonique # ensemble harmonieux dans le cas réel # espace de fonction continue # nombre de Pisot # nombre de Salem # répartition modulo 1

11J71 ; 11Kxx ; 2605 ; 26A15 ; 46Exx

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- 318 p.
ISBN 978-0-8218-3387-2

Mathematical surveys and monographs , 0104

Localisation : Collection 1er étage

théorie des nombres # suite définie par récurrence # recurrence # suite automatique # courbe elliptique # distribution modulo 1 # nombre pseudo-alléatoire # cryptographie # somme exponentielle # automate cellulaire

11B37 ; 11B85 ; 11G05 ; 11J71 ; 11K45 ; 11T23 ; 37B15 ; 94A60

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- pag. mult.
ISBN 978-0-8204-7731-2

Slowakische akademie der wissenschaften , 0001

Localisation : Ouvrage RdC(STRA)

distribution modulo 1 # théorie des nombres # suite à une dimension

11-02 ; 11J71 ; 11K06 ; 11K38

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- xx; 527 p.
ISBN 978-0-8218-4970-5

American mathematical society colloquium publications , 0057

Localisation : Collection 1er étage

théorie des nombres # cribles

11N35 ; 11N36 ; 11N05 ; 11N13 ; 11N32 ; 11N37 ; 11J71 ; 11E25

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- xvii; 481 p.
ISBN 978-0-85729-020-5

Graduate texts in mathematics , 0259

Localisation : Collection 1er étage

théorie ergodique # théorie de la mesure # théorie des nombres # mesure invariante # théorème de Szemeredi # groupe localement compact # plan hyperbolique

37-01 ; 11-01 ; 37D40 ; 05D10 ; 22D40 ; 28D15 ; 37A15 ; 11J70 ; 11J71 ; 11K50 ; 37-02 ; 37Axx ; 28-02 ; 28Axx ; 11K99

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- xvi; 300 p.
ISBN 978-0-521-11169-0

Cambridge tracts in mathematics , 0193

Localisation : Collection 1er étage

théorie des nombres # distribution # analyse diophantienne # distribution modulo 1

11-02 ; 11J71 ; 11K06

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These d'habilitation

Localisation : Bibliothèque de Jussieu

ensembles normaux # substitutions

11J71 ; 11K06 ; 11K16 ; 68R05 ; 68R10

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- 32 p.

Localisation : Ouvrage RdC (MAUD)

équirépartition modulo un # automates finis # ensemble normal # graphes orientés # nombre cyclomatique # produit infini de matrices # spectres de Fourier-Bohr

11J71 ; 68Q45 ; 11K06

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