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Number Theory
Bounded remainder sets for a dynamical system are sets for which the Birkhoff averages of return times differ from the expected values by at most a constant amount. These sets are rare and important objects which have been studied for over 100 years. In the last few years there have been a number of results which culminated in explicit constructions of bounded remainder sets for toral rotations in any dimension, of all possible allowable volumes. In this talk we are going to explain these results, and then explain how to generalize them to give explicit constructions of bounded remainder sets for rotations in $p$-adic solenoids. Our method of proof will make use of a natural dynamical encoding of patterns in non-Archimedean cut and project sets.
Bounded remainder sets for a dynamical system are sets for which the Birkhoff averages of return times differ from the expected values by at most a constant amount. These sets are rare and important objects which have been studied for over 100 years. In the last few years there have been a number of results which culminated in explicit constructions of bounded remainder sets for toral rotations in any dimension, of all possible allowable ...
11K06 ; 11K38 ; 11J71
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- 698 p.
ISBN 978-3-540-74495-5
Localisation : Colloque 1er étage (ULM)
analyse numérique # méthide de Monte Carlo # généralisation des nombres aléatoires # nombres pseudo-aléatoires # intégarion numérique # quadrature # irrégularité de distribution # géométrie algorithmique # équation intégrale # mathématiques pour l'économie
11K45 ; 65-06 ; 65C05 ; 65C10 ; 11K38 ; 65D18 ; 65D30 ; 65D32 ; 65R20 ; 91B28
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This is a survey on progress in metric discrepancy theory and probabilistic aspects in harmonic analysis. We start with classical limit theorems of Salem and Zygmund as well as with the work of Erdoes and Gaal and of Walter Philipp. A focus lies on laws of the iterated logarithm for discrepancy functions of lacunary sequences. We show the connection to certain diophantine properties of the underlying lacunary sequences obtaining precise asymptotic formulas. Different phenomena for subexponentially growing, for exponentially growing and for superexponentially growing sequences are established. Furthermore, relations to arithmetic dynamical systems and to Donald Knuth`s concept of pseudorandomness are discussed. Recent results are contained in joint work with Christoph Aistleitner and Istvan Berkes and it is planed to publish parts of it in a Jean Morlet Springer lecture Notes volume.
This is a survey on progress in metric discrepancy theory and probabilistic aspects in harmonic analysis. We start with classical limit theorems of Salem and Zygmund as well as with the work of Erdoes and Gaal and of Walter Philipp. A focus lies on laws of the iterated logarithm for discrepancy functions of lacunary sequences. We show the connection to certain diophantine properties of the underlying lacunary sequences obtaining precise ...
11K38 ; 11J83 ; 11K60
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Discrepancy is a measure of equidistribution for sequences of points. We consider here discrepancy in the setting of symbolic dynamics and we discuss the existence of bounded remainder sets for some families of zero entropy subshifts, from a topological dynamics viewpoint. A bounded remainder set is a set which yields bounded discrepancy, that is, the number of times it is visited differs by the expected time only by a constant. Bounded discrepancy provides particularly strong convergence properties of ergodic sums. It is also closely related to the notions of balance in word combinatorics.
Discrepancy is a measure of equidistribution for sequences of points. We consider here discrepancy in the setting of symbolic dynamics and we discuss the existence of bounded remainder sets for some families of zero entropy subshifts, from a topological dynamics viewpoint. A bounded remainder set is a set which yields bounded discrepancy, that is, the number of times it is visited differs by the expected time only by a constant. Bounded ...
37B10 ; 11K50 ; 37A30 ; 28A80 ; 11J70 ; 11K38
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Number Theory
Let $\alpha$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^d$ be a vector whose entries $\alpha_1, . . . , \alpha_d$ and $1$ are linearly independent over the rationals. We say that $S \subset \mathbb{T}^d$ is a bounded remainder set for the sequence of irrational rotations $\lbrace n\alpha\rbrace_{n\geqslant1}$ if the discrepancy
$ \sum_{k=1}^{N}1_S (\lbrace k\alpha\rbrace) - N$ $mes(S)$
is bounded in absolute value as $N \to \infty$. In one dimension, Hecke, Ostrowski and Kesten characterized the intervals with this property.
We will discuss the bounded remainder property for sets in higher dimensions. In particular, we will see that parallelotopes spanned by vectors in $\mathbb{Z}\alpha + \mathbb{Z}^d$ have bounded remainder. Moreover, we show that this condition can be established by exploiting a connection between irrational rotation on $\mathbb{T}^d$ and certain cut-and-project sets. If time allows, we will discuss bounded remainder sets for the continuous irrational rotation $\lbrace t \alpha : t$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^+\rbrace$ in two dimensions.
Let $\alpha$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^d$ be a vector whose entries $\alpha_1, . . . , \alpha_d$ and $1$ are linearly independent over the rationals. We say that $S \subset \mathbb{T}^d$ is a bounded remainder set for the sequence of irrational rotations $\lbrace n\alpha\rbrace_{n\geqslant1}$ if the discrepancy
$ \sum_{k=1}^{N}1_S (\lbrace k\alpha\rbrace) - N$ $mes(S)$
is bounded in absolute value as $N \to \infty$. In one dimension, Hecke, ...
11K38 ; 11J71 ; 11K06
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- x; 240 p.
ISBN 978-1-107-61985-2
London mathematical society student texts , 0081
Localisation : Collection 1er étage
théorie des nombres # divergence géométrique # analyse de Fourier
11-02 ; 11Axx ; 11K38 ; 42A38
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- xi; 250 p.
ISBN 978-0-8218-4756-5
University lecture series , 0049
Localisation : Collection 1er étage
théorie des jeux # mesure aléatoire # complexité # système complexe # conjecture SLG # jeux et graphes
60-02 ; 05-02 ; 91A46 ; 05D40 ; 11K38
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- vii; 72 p.
ISBN 978-0-8218-4324-6
Memoirs of the american mathematical society , 0943
Localisation : Collection 1er étage
discrépance # marche aléatoire # martingale # série aléatoire # série de Dirichlet # série trigonométrique # suite lacunaire # convergence presque partout # convergence en moyenne
42C15 ; 42A55 ; 42A61 ; 30B50 ; 11K38 ; 60G50
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- 503 p.
ISBN 978-3-540-62606-0
Lecture notes in mathematics , 1651
Localisation : Collection 1er étage
théorie des nombres # discrépance de suites # distribution modulo 1 # irrégularités de distribution # généralisation aléatoire de nombres # intégration numérique # nombre pseudo-aléatoires # distribution uniforme de suite # dispersion # suites dans un espace discret
11Kxx ; 11K06 ; 11K38
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- 288 p.
ISBN 978-3-540-65528-2
Algorithms and combinatorics , 0018
Localisation : Ouvrage RdC (MATO)
combinatoire # divergence # limite infèrieure #ensemble à discrépance faible # mesure de Lebesgue # discrépance combinatoire # transformation de Fourier
11K38 ; 05D99 ; 65C99
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- pag. mult.
ISBN 978-0-8204-7731-2
Slowakische akademie der wissenschaften , 0001
Localisation : Ouvrage RdC(STRA)
distribution modulo 1 # théorie des nombres # suite à une dimension
11-02 ; 11J71 ; 11K06 ; 11K38
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- 463 p.
ISBN 978-0-521-77093-4
Localisation : Ouvrage RdC (CHAZ)
analyse combinatoire # théorie des graphes # algorithme optimal # optimisation # combinatoire # programmation linéaire # processus aléatoire # complexité # discrepance
68-02 ; 11K38 ; 52B55 ; 65Y20 ; 68Q25 ; 68U05
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- 297 p.
ISBN 978-0-19-850083-4
London mathematical society monographs new series , 0018
Localisation : Ouvrage RdC (HARM)
algorithmique # distribution # expansion # irrégularité de distribution # mesure de dimension de Hausdorff # métrique # théorie des nombres # théorie probabiliste
11J83 ; 11K38 ; 11K50 ; 11K55
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- 102 p.
ISBN 978-0-8218-1814-5
Memoirs of the american mathematical society , 0114
Localisation : Collection 1er étage
probabilité # variable aléatoire # théories des ensembles # théorie probabiliste des nombres # fonction arithmétique # approximation diophantienne # théorème limite # comportement asymptotique de N # suite # distribution modulo 1 # irrégularité de distribution
11K65 ; 11K06 ; 11K60 ; 11K38 ; 60F05 ; 11K55
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