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Research talks;Algebraic and Complex Geometry

Let X be a smooth and projective complex algebraic variety. Several notions, describing how close X is to projective space, have been developed: X is rational if an open subset of X is isomorphic to an open of a projective space, X is stably rational if this property holds for a product of X with some projective space, and X is unirational if X is rationally dominated by a projective space. A classical Lüroth problem is to find unirational nonrational varieties. This problem remained open till 1970th, when three types of such examples were produced: cubic threefolds (Clemens and Griffiths), some quartic threefolds (Iskovskikh and Manin), and some conic bundles (Artin et Mumford). The last examples are even not stably rational. The stable rationality of the first two examples was not known.
In a recent work C. Voisin established that a double solid ramified along a very general quartic is not stably rational. Inspired by this work, we showed that many quartic solids are not stably rational (joint work with J.-L. Colliot-Thélène). More generally, B. Totaro showed that a very general hypersurface of degree d is not stably rational if d/2 is at least the smallest integer not smaller than (n+2)/3. The same method allowed us to show that the rationality is not a deformation invariant (joint with B. Hassett and Y. Tschinkel).
In this series of lectures, we will discuss the methods to obtain the results above: the universal properties of the Chow group of zero-cycles, the decomposition of the diagonal, and the specialization arguments.
Let X be a smooth and projective complex algebraic variety. Several notions, describing how close X is to projective space, have been developed: X is rational if an open subset of X is isomorphic to an open of a projective space, X is stably rational if this property holds for a product of X with some projective space, and X is unirational if X is rationally dominated by a projective space. A classical Lüroth problem is to find unirational ...

14C15 ; 14C25 ; 14E08 ; 14H05 ; 14J70 ; 14M20

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Research talks;Algebraic and Complex Geometry

Let $X$ be a projective variety over a field $k$. Chow groups are defined as the quotient of a free group generated by irreducible subvarieties (of fixed dimension) by some equivalence relation (called rational equivalence). These groups carry many information on $X$ but are in general very difficult to study. On the other hand, one can associate to $X$ several cohomology groups which are "linear" objects and hence are rather simple to understand. One then construct maps called "cycle class maps" from Chow groups to several cohomological theories.
In this talk, we focus on the case of a variety $X$ over a finite field. In this case, Tate conjecture claims the surjectivity of the cycle class map with rational coefficients; this conjecture is still widely open. In case of integral coefficients, we speak about the integral version of the conjecture and we know several counterexamples for the surjectivity. In this talk, we present a survey of some well-known results on this subject and discuss other properties of algebraic cycles which are either proved or expected to be true. We also discuss several involved methods.
Let $X$ be a projective variety over a field $k$. Chow groups are defined as the quotient of a free group generated by irreducible subvarieties (of fixed dimension) by some equivalence relation (called rational equivalence). These groups carry many information on $X$ but are in general very difficult to study. On the other hand, one can associate to $X$ several cohomology groups which are "linear" objects and hence are rather simple to ...

14C25 ; 14G15 ; 14J70 ; 14C15 ; 14H05

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- 279 p.
ISBN 978-0-8176-3684-5

Progress in mathematics , 0108

Localisation : Collection 1er étage

arithmétique des surfaces # correspondance de Jacquet- Langlands explicite # fonction algébrique # hauteur p-adique # monodromie # nombre de classes # relation des périodes de Riemann # représentation de Galois # régulateur de corps quadratique # serie de puissances # somme exponentielle cubique # théorie d'Iwasawa # théorie des nombres # valeur moyenne de fonction zeta de Riemann # variété abélienne de type K3 # variété de Shimura

11-06 ; 11K41 ; 11Mxx ; 14H05 ; 32A05

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- 214 p.
ISBN 978-2-85629-116-0

Séminaires et congrès , 0005

Localisation : Collection 1er étage

Théorie de Galois # problème inverse # revêtements # revêtement galoisien # (G-)revêtement # groupe fondamental # déformation # recollement # espace de modules grossiers et fins # espace de Hurwitz # monodromie # surface de Riemann # théorème d'existence de Riemann # courbes de genre 1 et 2 # jacobienne # corps de définition #corps des modules #espace de Hurwitz des modules grossier # gerbe des modèles # fonctions implicites # revêtement de la droite projective # GAGA # champs # gerbe # descente # ramification # automorphisme des courbes # théorème de Riemann-Roch Théorie de Galois # problème inverse # revêtements # revêtement galoisien # (G-)revêtement # groupe fondamental # déformation # recollement # espace de modules grossiers et fins # espace de Hurwitz # monodromie # surface de Riemann # théorème d'existence de Riemann # courbes de genre 1 et 2 # jacobienne # corps de définition #corps des modules #espace de Hurwitz des modules grossier # gerbe des modèles # fonctions implicites # revêtement de la ...

12F12 ; 14H30 ; 14G32 ; 12E30 ; 14D15 ; 14D10 ; 14H05 ; 14H10 ; 30F10 ; 14G27 ; 14D22 ; 14E22 ; 14G22 ; 18G50 ; 14E20 ; 11G99 ; 14H37 ; 14C40

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- vii; 166 p.
ISBN 978-0-8218-4955-2

Contemporary mathematics , 0521

Localisation : Collection 1er étage

théorie des nombres # géométrie algébrique # géométrie algébrique arithmétique # géométrie diophantienne # courbe algébrique # cryptographie

11G10 ; 11G15 ; 11G20 ; 14G10 ; 14G15 ; 14G50 ; 14H05 ; 14H10 ; 14H45 ; 14Q05 ; 11-06 ; 14-06 ; 94-06 ; 00B25 ; 11Gxx ; 14Gxx ; 14Hxx ; 94A60

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- 215 p.
ISBN 978-2-85629-175-7

Séminaires et congrès , 0011

Localisation : Collection 1er étage

fonction zêta # variété abélienne # corps de fonction # courbe sur les corps fini # tour de corps de fonction # corps fini # graphe # semi-groupe numérique # polynôme sur les corps finis # cryptographie # courbe hyperelliptique # représentation p-adique # tour de corps de classe # groupe de Galois # point rationel # fraction continue # régulateur # nombre de classe d'idéaux # complexité bilinéaire # jacobienne hyperelliptique

14H05 ; 14G05 ; 11G20 ; 20M99 ; 94B27 ; 11T06 ; 11T71 ; 11R37 ; 14G10 ; 14G15 ; 11R58 ; 11A55 ; 11R42 ; 11Yxx ; 12E20 ; 14H40 ; 14K05

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Research talks;Algebraic and Complex Geometry

Let X be a smooth and projective complex algebraic variety. Several notions, describing how close X is to projective space, have been developed: X is rational if an open subset of X is isomorphic to an open of a projective space, X is stably rational if this property holds for a product of X with some projective space, and X is unirational if X is rationally dominated by a projective space. A classical Lüroth problem is to find unirational nonrational varieties. This problem remained open till 1970th, when three types of such examples were produced: cubic threefolds (Clemens and Griffiths), some quartic threefolds (Iskovskikh and Manin), and some conic bundles (Artin et Mumford). The last examples are even not stably rational. The stable rationality of the first two examples was not known.
In a recent work C. Voisin established that a double solid ramified along a very general quartic is not stably rational. Inspired by this work, we showed that many quartic solids are not stably rational (joint work with J.-L. Colliot-Thélène). More generally, B. Totaro showed that a very general hypersurface of degree d is not stably rational if d/2 is at least the smallest integer not smaller than (n+2)/3. The same method allowed us to show that the rationality is not a deformation invariant (joint with B. Hassett and Y. Tschinkel).
In this series of lectures, we will discuss the methods to obtain the results above: the universal properties of the Chow group of zero-cycles, the decomposition of the diagonal, and the specialization arguments.
Let X be a smooth and projective complex algebraic variety. Several notions, describing how close X is to projective space, have been developed: X is rational if an open subset of X is isomorphic to an open of a projective space, X is stably rational if this property holds for a product of X with some projective space, and X is unirational if X is rationally dominated by a projective space. A classical Lüroth problem is to find unirational ...

14C15 ; 14C25 ; 14E08 ; 14H05 ; 14J70 ; 14M20

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Research talks;Algebraic and Complex Geometry;Logic and Foundations

We will present some of the original definitions, results, and proof techniques about Pfaffian functions on the reals by Khovanskii.
A simple example of a Pfaffian function is an analytic function $f$ in one variable $x$ satisfying a differential equation $f^\prime = P(x,f)$ where $P$ is a polynomial in two variables. Khovanskii gives a notion of complexity of Pfaffian functions which in the example is just the degree of $P$. Using this complexity, he proves analogues of Bézout's theorem for Pfaffian curves (say, zero loci of Pfaffian functions in two variables), with explicit upper bounds in terms of the ocurring complexities.
We explain a recent application by J. Pila and others to a low-dimensional case of Wilkie's conjecture on rational points of bounded height on restricted Pfaffian curves. The result says that the number of rational points of height bounded by $T$, on a transcendental restricted Pfaffian curve, grows at most as a power of log$(T)$ as $T$ grows. This improves the typical upper bound $T^\epsilon$ in Pila-Wilkie's results in general o-minimal structures, the improvement being due to extra geometric Bézout-like control.
In the non-archimedean setting, I will explain analogues of some of these results and techniques, most of which are (emerging) work in progress with L. Lipshitz, F. Martin and A. Smeets. Some ideas in this case come from work by Denef and Lipshitz on variants of Artin approximation in the context of power series solution.
We will present some of the original definitions, results, and proof techniques about Pfaffian functions on the reals by Khovanskii.
A simple example of a Pfaffian function is an analytic function $f$ in one variable $x$ satisfying a differential equation $f^\prime = P(x,f)$ where $P$ is a polynomial in two variables. Khovanskii gives a notion of complexity of Pfaffian functions which in the example is just the degree of $P$. Using this ...

03C98 ; 14G05 ; 14H05 ; 58A17

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- 408 p.

Localisation : Ouvrage RdC (SEVE)

famille linéaire sur courbe algébrique # fonction algébrique comme fonction analytique # géométrie algébrique # géométrie sur une courbe # intégrale de Abel réductible # module de courbe de genre p # surface de Riemann # système linéaire de courbes planes # transformation rationnelle ou birationnelle

14-03 ; 14E05 ; 14H05 ; 14H10 ; 14H15

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- 163 p.

Actualites scientifiques et industrielles , 1064

Localisation : Ouvrage RdC (WEIL);Réserve

courbe algébrique # fonction symétrique # variété abélienne # variété algébrique # variété de groupe

14A10 ; 14H05 ; 14H40 ; 14Kxx ; 14L10

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- xvi, 652 p.
ISBN 978-0-8176-4480-2

Mathematics : Theory and Applications

Localisation : Ouvrage RdC (VILL)

théorie des nombres # théorie arithmétique des corps de fonctions algébriques # théorie de Galois # fonction algébrique # corps de fonctions algébriques # module de Drinfel'd # surface de Riemann # théorème de Riemann-Roch # différentiels de Weil # fonction cyclotomique

11R58 ; 11R60 ; 14H05 ; 11G09 ; 11R32 ; 12F05 ; 12F10 ; 12F15 ; 11S20 ; 14H55 ; 11R37 ; 11R29 ; 14G10 ; 14G15 ; 14G50 ; 11S31 ; 14H25 ; 12G05

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- viii-152 p.
ISBN 978-0-8218-8330-3

History of mathematics , 0039

Localisation : Collection 1er étage

fonction algébrique # géométrie algébrique # histoire de la géométrie algébrique # histoire des mathématiques # mathématiques du 19e siècle # courbe algébrique # théorème de Reimann-Roch # algèbre différentielle

01A75 ; 01A55 ; 01A60 ; 14-03 ; 14H05 ; 11R58 ; 14F10

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- 521 p.

Localisation : Ouvrage RdC (APPE)

discontinuité # équation différentielle des fonctions # fonction harmonique # fonction Kleineenne # fonction linéairement polynome # fontion Fuchsienne # géométrie ellytique # géométrie hyperbolique # géométrie non Euclidienne # groupe de monodromie # groupe discontinus # groupe Fuchsien # groupe Kleineen # propriété des fonctions analytiques # série theta # subgroupe linéaire # surface de Rieman # téorie des fonctions algèbrique # théorème de Picard # variable discontinuité # équation différentielle des fonctions # fonction harmonique # fonction Kleineenne # fonction linéairement polynome # fontion Fuchsienne # géométrie ellytique # géométrie hyperbolique # géométrie non Euclidienne # groupe de monodromie # groupe discontinus # groupe Fuchsien # groupe Kleineen # propriété des fonctions analytiques # série theta # subgroupe linéaire # surface de Rieman # téorie des fonctions algèbrique # théorème de ...

12A10 ; 14H05 ; 26-02 ; 26Axx ; 30Dxx

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- 526 p.

Localisation : Réserve

connexion des surfaces à 2 feuillets # courbe normale # décomposition en élément simple # fonction algébrique # fonction analytique # fonction uniforme # intégrale normale # inversion # module # périodicité d'intégrale abélienne # périodicité d'intégrale hyperelliptique # surface de Riemann à 2 feuillets # théorème d'Abel et géométrie # transformation bi-rationnelle

14E05 ; 14H05 ; 14H55 ; 14K20 ; 53C05

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Localisation : Réserve

analyse de Riemann # calcul intégral # classe des équations algébriques # courbe algébrique # courbe normale # courbe unicursale # degré de l'équation de la polaire réciproque # fonction algébrique # fonction analytique intégrale # fonction elliptique # fonction holomorphe de plusieurs variables # genre de la courbe # intégrale hyperelliptique # module de périodicité de l'intégrale # mémoire de Puiseux # ordre de connexion # point critique # point d'inflexion # point multiple # substitution birationnelle # substitution de Cremona # surface de Riemann # surfaces connexes # système canonique des coupures # théorie des fonctions algébriques # théorème d'Abel # théorème de M. Luroth # transcendante theta de Jacobi analyse de Riemann # calcul intégral # classe des équations algébriques # courbe algébrique # courbe normale # courbe unicursale # degré de l'équation de la polaire réciproque # fonction algébrique # fonction analytique intégrale # fonction elliptique # fonction holomorphe de plusieurs variables # genre de la courbe # intégrale hyperelliptique # module de périodicité de l'intégrale # mémoire de Puiseux # ordre de connexion # point critique # ...

14-03 ; 14Exx ; 14H05 ; 14H55 ; 14Hxx

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Localisation : Réserve

19ème siècle # analysis situs # courbe gauche algébrique # fonction algébrique de deux variables indépendantes # genre d'une surface # géométrie de situation # intégrale de différentielle totale de première espèce, deuxi # intégrale de fonction rationnelle de deux variables complexe # intégrale double de première espèce # intégrale multiple de fonction de plusieurs variables # invariant d'une surface pour le géométrie de situation # singularité de surface algébrique # variété à un nombre quelconque de dimensions 19ème siècle # analysis situs # courbe gauche algébrique # fonction algébrique de deux variables indépendantes # genre d'une surface # géométrie de situation # intégrale de différentielle totale de première espèce, deuxi # intégrale de fonction rationnelle de deux variables complexe # intégrale double de première espèce # intégrale multiple de fonction de plusieurs variables # invariant d'une surface pour le géométrie de situation # singularité ...

01A55 ; 14H05 ; 14Jxx ; 26-03 ; 26Bxx

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Localisation : Réserve

19ème siècle # courbe et surface passant par l'intersection de deux autres # fonction algébrique de deux variables indépendantes # genre numérique # géométrie sur une courbe algébrique # intégrale de différentielles totales de première et de secon # intégrale de différentielles totales de troisième espèce # intégrale double de seconde espèce # période d'intégrale double # surface hyperelliptique # système adjoint à un système linéaire de courbes # système linéaire de courbes dans un plan # système linéaire de courbes sur surfaces # système linéaire de surfaces # théorème de Noether 19ème siècle # courbe et surface passant par l'intersection de deux autres # fonction algébrique de deux variables indépendantes # genre numérique # géométrie sur une courbe algébrique # intégrale de différentielles totales de première et de secon # intégrale de différentielles totales de troisième espèce # intégrale double de seconde espèce # période d'intégrale double # surface hyperelliptique # système adjoint à un système linéaire de courbes ...

01A55 ; 14H05 ; 14Jxx ; 26-03 ; 26Bxx

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- 707 p.

Localisation : Ouvrage RdC (HENS)

classe de configuration algébrique # courbe algébrique # courbe algébrique sur des corps de fonctions algébriques # diviseur algébrique # fonction algébrique d'une variable # relation algébrique entre intégrale d'Abel # surface de Riemann # théorème de Riemann-Roch

14C20 ; 14C40 ; 14H05 ; 14H55 ; 14K20

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- 400 p.
ISBN 978-0-387-96203-0

Graduate texts in mathematics , 0106

Localisation : Collection 1er étage

corps # courbe elliptique # géométrie algébrique

14-01 ; 14G99 ; 14H05 ; 14H25 ; 14K15

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- 85 p.

Actualités scientifiques et industrielles , 1041

Localisation : Ouvrage RdC (WEIL)

correspondance # courbe algébrique # fonction zeta # groupe de ramifications

14H05 ; 14H10 ; 14H35 ; 14H42 ; 14Hxx

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