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Documents  Seymour, Paul D. | enregistrements trouvés : 4

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Research talks;Combinatorics

The chromatic number $\chi(G)$ of a graph $G$ is always at least the size of its largest clique (denoted by $\omega(G)$), and there are graphs $G$ with $\omega(G)=2$ and $\chi(G)$ arbitrarily large.
On the other hand, the perfect graph theorem asserts that if neither $G$ nor its complement has an odd hole, then $\chi(G)=\omega(G)$ . (A "hole" is an induced cycle of length at least four, and "odd holes" are holes of odd length.) What happens in between?
With Alex Scott, we recently proved the following, a 1985 conjecture of Gyárfás:

For graphs $G$ with no odd hole, $\chi(G)$ is bounded by a function of $\omega(G)$.

Gyárfás also made the stronger conjecture that for every integer $k$ and for all graphs $G$ with no odd hole of length more than $k$, $\chi(G)$ is bounded by a function of $k$ and $\omega(G)=2$. This is far from settled, and indeed the following much weaker statement is not settled: for every integer $k$, every triangle-free graph with no hole of length at least $k$ has chromatic number bounded by a function of $k$. We give a partial result towards the latter:

For all $k$, every triangle-free graph with no hole of length at least $k$ admits a tree-decomposition into bags with chromatic number bounded by a function of $k$.

Both results have quite pretty proofs, which will more-or-less be given in full.
The chromatic number $\chi(G)$ of a graph $G$ is always at least the size of its largest clique (denoted by $\omega(G)$), and there are graphs $G$ with $\omega(G)=2$ and $\chi(G)$ arbitrarily large.
On the other hand, the perfect graph theorem asserts that if neither $G$ nor its complement has an odd hole, then $\chi(G)=\omega(G)$ . (A "hole" is an induced cycle of length at least four, and "odd holes" are holes of odd length.) What happens in ...

05C15 ; 05C35 ; 05C85

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- 688 p.
ISBN 978-0-8218-5160-9

Contemporary mathematics , 0147

Localisation : Collection 1er étage

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05C10 ; 05C40 ; 05C75 ; 05Cxx

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- 288 p.
ISBN 978-0-8218-6591-0

DIMACS series in discrete mathematics and theoretical computer science , 0001

Localisation : Collection 1er étage

chemin et cycle # combinatoire polyèdrale # graphe eulérien et hamiltonien # problème du facteur chinois # problème du voyageur de commerce # programmation combinatoire # programmation entière

05C38 ; 05C45 ; 05C70 ; 90C10 ; 90C27

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ISBN 978-0-8218-0402-5

Memoirs of the american mathematical society , 0566

Localisation : Collection 1er étage

arbre topologique # arbre-décomposition # dissection limitée # division longue # division robuste # décomposition d'arbre bien fondée # exclusion de K indice aleph indice 0 # exclusion de demi- grille # exclusion de mineur de clique infini # graphe complet # graphe infini # havre et mineur # havres rassemblés en groupes d'ordre aleph indice 0 # moitié facile

05C10 ; 05C75

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