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Research School;Computer Science;Geometry

Le calcul tensoriel sur les variétés différentielles comprend l'arithmétique des champs tensoriels, le produit tensoriel, les contractions, la symétrisation et l'antisymétrisation, la dérivée de Lie le long d'un champ vectoriel, le transport par une application différentiable (pullback et pushforward), mais aussi les opérations intrinsèques aux formes différentielles (produit intérieur, produit extérieur et dérivée extérieure). On ajoutera également toutes les opérations sur les variétés pseudo-riemanniennes (variétés dotées d'un tenseur métrique) : connexion de Levi-Civita, courbure, géodésiques, isomorphismes musicaux et dualité de Hodge.Dans ce cours, nous introduirons tout d'abord la problématique du calcul tensoriel formel, en distinguant le calcul dit “abstrait” du calcul explicite. C'est ce dernier qui nous intéresse ici. Il se ramène in fine au calcul symbolique sur les composantes des champs tensoriels dans un champ de repères, ces composantes étant exprimées en termes des coordonnées d'une carte donnée.
Nous discuterons alors d'une méthode de calcul tensoriel générale, valable sur l'intégralité d'une variété donnée, sans que l'utilisateur ait à préciser dans quels champs de repères et avec quelles cartes doit s'effectuer le calcul. Cela suppose que la variété soit couverte par un atlas minimal, défini carte par carte par l'utilisateur, et soit décomposée en parties parallélisables, i.e. en ouverts couverts par un champ de repères. Ces contraintes étant satisfaites, un nombre arbitraire de cartes et de champs de repères peuvent être introduits, pourvu qu'ils soient accompagnés des fonctions de transition correspondantes.
Nous décrirons l'implémentation concrète de cette méthode dans SageMath ; elle utilise fortement la structure de dictionnaire du langage Python, ainsi que le schéma parent/élément de SageMath et le modèle de coercition associé. La méthode est indépendante du moteur de calcul formel utilisé pour l'expression symbolique des composantes tensorielles dans une carte. Nous présenterons la mise en œuvre via deux moteurs de calcul formel différents : Pynac/Maxima (le défaut dans SageMath) et SymPy. Différents champs d'application seront discutés, notamment la relativité générale et ses extensions.
Le calcul tensoriel sur les variétés différentielles comprend l'arithmétique des champs tensoriels, le produit tensoriel, les contractions, la symétrisation et l'antisymétrisation, la dérivée de Lie le long d'un champ vectoriel, le transport par une application différentiable (pullback et pushforward), mais aussi les opérations intrinsèques aux formes différentielles (produit intérieur, produit extérieur et dérivée extérieure). On ajoutera ...

53-04 ; 53Axx ; 58C25 ; 68N01 ; 68N15 ; 68U05

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ISBN 978-0-444-86197-9

Colloquia mathematica societatis janos bolyai , 0031

Localisation : Colloque 1er étage (BUDA)

53-06 ; 53Axx ; 53Cxx

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- 194 p.
ISBN 978-0-387-12882-5

Lecture notes in mathematics , 1045

Localisation : Collection 1er étage

22Exx ; 53Axx ; 53Bxx

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- 290 p.

Various publications Series , 0035

Localisation : Publication 1er étage

connexion # connexion cohomologique # ensemble simplicial # fonctionnelle synthétique # géodésique # géométrie algébrique générale # géométrie différentielle synthétique # local et global # méthode de théorie des catégories # pulvérisation # théorie de la différentiation générale # théorie stable d'anneaux locaux # topos de Stein

18-06 ; 18Fxx ; 53Axx ; 55Nxx

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Localisation : Salle de manutention

couple de 1-formes holomorphes # décomposition d'algèbre de Lie par opérateurs symétriques # désingularisation par éclatement # feuille de courbes planes différentiables # feuilletage riemannien # forme extérieure # groupe d'invariance # groupe de Lie # géométrie différentielle # homomorphisme # loi de composition différentiable # pseudo-métrique de Riemann bi-invariante # structure géométrique transitive

53-06 ; 53Axx

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Localisation : Salle de manutention

algèbre adjointe d'algèbre de Lie # connexion plate invariante à gauche # courbure de métrique invariante à gauche # courbure scalaire # espace homogène symplectique # forme de contact # forme symplectique invariante à gauche # groupe de Lie compact # géométrie différentielle # métrique riemannienne invariante # premier prolongement # pseudogroupe de Lie # structure invariante à gauche

22-XX ; 53-06 ; 53Axx ; 53Cxx

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ISBN 978-3-540-16801-0

Lecture notes in mathematics , 1209

Localisation : Collection 1er étage

algebres de lie # geometrie differentielle classique # geometrie differentielle globale # geometrie differentielle locale # groupe de lie # groupe topologiq ue # theorie generale des variet # topologie differentielle # variete d'algebre de lie # variete riemannienne

22-XX ; 53Axx ; 53Bxx ; 53Cxx ; 57DXX

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ISBN 978-0-19-853609-3

The institute of mathematics and its applications conference series , 0006

Localisation : Colloque 1er étage (MANC)

geometrie # plan geometrique assiste par ordinateur # surface # traitemt informatiqu e des surfaces

51-04 ; 51L20 ; 53-04 ; 53Axx ; 53C45

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ISBN 978-3-540-51037-6

Lecture notes in mathematics , 1369

Localisation : Collection 1er étage

geometrie differentielle # topologie

22Exx ; 53Axx ; 53Cxx ; 57Mxx ; 57Rxx

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ISBN 978-3-540-51885-3

Lecture notes in mathematics , 1410

Localisation : Collection 1er étage

geometrie differentielle

53Axx ; 53Cxx ; 57Rxx ; 58Axx ; 58Cxx

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ISBN 978-0-8176-3452-0

Progress in nonlinear differential equations and their applications , 0004

Localisation : Colloque 1er étage (PARI)

equation differentielle aux derivees partielles # geometrie # physique mathematique # systemes hamiltoniens # variete singuliere

41-XX ; 53Axx ; 58F05 ; 58Fxx ; 65Dxx

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- 203 p.

Proceedings of the Steklov institute of mathematics , 0081

Localisation : Collection 1er étage

05C10 ; 53Axx ; 57M30 ; 58D10

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Localisation : Salle de manutention

conjecture de la balle liquide # courbe algébrique # hamiltonien périodique de surface # invaraint êta # mesure harmonique # opérateur de Schrödinger périodique # problème de Dirichlet à l'infini # relativité générale # surface minimale # système de 3 quarks # système quark-anti-quark # théorie spectrale # théorème de Riemann- Roch # variété de courbure non positive # variété hyperbolique # variété à anse fine

30C85 ; 31Q15 ; 53-06 ; 53Axx ; 83CXX

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ISBN 978-3-540-08068-8

Lecture notes in mathematics , 0570

Localisation : Collection 1er étage

Dirac et constante variable cosmologiquement de la nature # Fock # Kostant # algèbre de Lie graduée # calcul des variations # champ scalaire d'auto-gravitation # dynamique des champs # dynamique des particules # dynamique géométrique # déformation d'espace d'Einstein plongé # espace de Riemann # espace de type D # foliation inversible # forme de connection quantifiée # formulation symplectique # gravité quantique # groupe de cohomologie # géométrie méta-linéaire # géométrie syLmplectique # interprétation géométrique des états quantiques # intégrale de chemin de Feynman pour le spin # mécanique quantique # méthode de géométrie différentielle # physique mathématique # polarisation non réelle # quantisation géométrique # relativité générale # structure causale de singularité # structure géométrique de la quantification # structure symplectique de champ classique # super-symétrie # symétrie de jauge # système d'évolution d'Einstein # équation de Dirac Dirac et constante variable cosmologiquement de la nature # Fock # Kostant # algèbre de Lie graduée # calcul des variations # champ scalaire d'auto-gravitation # dynamique des champs # dynamique des particules # dynamique géométrique # déformation d'espace d'Einstein plongé # espace de Riemann # espace de type D # foliation inversible # forme de connection quantifiée # formulation symplectique # gravité quantique # groupe de cohomologie # ...

17A30 ; 53-02 ; 53Axx ; 53Bxx ; 53Cxx

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ISBN 978-3-11-014792-6

Localisation : Colloque 1er étage (SING)

analyse sur des variétés # calcul sur des variétés # géodésique # géométrie différentielle classique # géométrie différentielle globale # géométrie différentielle locale # laplacien # opérateur différentiel # produit de surface # représentation différentielle # singularité # surface minimale # équation différentielle aux dérivées partielles

53-06 ; 53Axx ; 53Bxx ; 53Cxx ; 58Cxx

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- 328 p.
ISBN 978-2-85629-094-1

Séminaires & congrés , 0004

Localisation : Collection 1er étage

géométrie différentielle # analyse globale # analyse harmonique # opérateur de Dirac # spectre # estimation des valeurs propres # variété de Bieberbach # variété à courbure constante # équation de twisteurs # spineur de Killing # spineur parallèle # géométrie de Fefferman # variété de Lorentz # groupe d'holonomie # géométrie parabolique # géométrie de Cartan # fibré de tracteur # opérateur différentiel invariant # inégalité de Kato # invariant de Seiberg-Witten géométrie différentielle # analyse globale # analyse harmonique # opérateur de Dirac # spectre # estimation des valeurs propres # variété de Bieberbach # variété à courbure constante # équation de twisteurs # spineur de Killing # spineur parallèle # géométrie de Fefferman # variété de Lorentz # groupe d'holonomie # géométrie parabolique # géométrie de Cartan # fibré de tracteur # opérateur différentiel invariant # inégalité de Kato # invariant ...

22Exx ; 53Axx ; 53Bxx ; 53Cxx ; 57R57 ; 57S25 ; 58E15 ; 58Gxx ; 58JXX ; 83A85

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- 225 p.

Localisation : Salle de manutention

théorie spectrale # géométrie

53-06 ; 53Cxx ; 53Bxx ; 53Axx ; 53DXX

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- 100 p.

Localisation : Salle de manutention

théorie spectrale # géométrie #arbre réel # valeur propre # classe conforme # application # moment # polygône # groupe discret # entropie # problème de plateau # courbure de Ricci

53-06 ; 53Axx ; 53Bxx ; 53DXX ; 35-06 ; 58-06

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Localisation : Salle de manutention

champ magnétique # espace euclidien # fibré vectoriel et principal # géométrie riemannienne # inégalité de Morse # opérateur de Schrödinger # ski de fond # spectre de nilvariété compacte # tenseur de Ricci # théorie spectrale et géométrique # volume conforme

53-06 ; 53Axx ; 55Rxx ; 81Qxx

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- xii; 355 p.
ISBN 978-1-4704-2205-9

Contemporary mathematics , 0675

Localisation : Collection 1er étage

singularité # homologie d'intersection # singularité non isolée d'hypersurface # cycle de Lê # espace singulier # topologie # système dynamique # géométrie différentielle

58KXX ; 32Sxx ; 53Axx ; 57Rxx ; 14Pxx ; 37Dxx

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