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Research talks;Algebraic and Complex Geometry

Caustics appear in several areas in Physics (i.e., geometrical optics [10], the theory of underwater acoustic [2] and the theory of gravitational lensings [11], and so on) and Mathematics (i.e., classical differential geometry [12, 13] and the theory of differential equations [6, 7, 15], and so on). Originally the notion of caustics belongs to geometrical optics, which has strongly stimulated the study of singularities [14]. Their singularities are now understood as a special class of singularities, so called Lagrangian singularities [1, 16]. In this talk we start to describe the classical notion of evolutes (i.e., focal sets) in Euclidean plane (or, space) as caustics for understanding what are the caustics. The evolute is defined to be the envelope of the family of normal lines to a curve (or, a surface). The basic idea is that we may regard the normal line as a ray emanate from the curve (or, the surface), so that the evolute can be considered as a caustic in geometrical optics. Then we consider surfaces in Lorentz-Minkowski $3$-space and explain the direct analogy of the evolute (the Lorentzian evolute) of a timelike surface, whose singularities are the same as those of the evolute of a surface in Euclidean space generically. This case the normal lines of a timelike surface are spacelike, so these are not corresponding to rays in the physical sense. Therefore, the Lorentz evolute is not a caustic in the sense of geometric optics. In Lorentz-Minkowski $3$-space, the ray emanate from a spacelike curve is a normal line of the curve whose directer vector is lightlike, so the family of rays forms a lightlike surface (i.e., a light sheet). The set of critical values of the light sheet is called a lightlike focal curve along a spacelike curve. Actually, the notion of light sheets is important in Physics which provides models of several kinds of horizons in space-times [5]. On the other hand, a world sheet in a Lorentz-Minkowski $3$-space is a timelike surface consisting of a one-parameter family of spacelike curves. Each spacelike curve is called a momentary curve. We consider the family of lightlike surfaces along momentary curves in the world sheet. The locus of the singularities (the lightlike focal curves) of lightlike surfaces along momentary curves form a caustic. This construction is originally from the theoretical physics (the string theory, the brane world scenario, the cosmology, and so on) [3, 4]. Moreover, we have no notion of the time constant in the relativity theory. Hence everything that is moving depends on the time. Therefore, we consider world sheets in the relativity theory. In order to understand the situation easily, we only consider 2-dimensional world sheets in Lorentz-Minkowski $3$-space. We remark that we have results for higher dimensional cases and for other Lorentz space-forms similar to this special case [8, 9]. Caustics appear in several areas in Physics (i.e., geometrical optics [10], the theory of underwater acoustic [2] and the theory of gravitational lensings [11], and so on) and Mathematics (i.e., classical differential geometry [12, 13] and the theory of differential equations [6, 7, 15], and so on). Originally the notion of caustics belongs to geometrical optics, which has strongly stimulated the study of singularities [14]. Their singularities ...

53C40 ; 58K05

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- x; 553 p.
ISBN 978-3-319-73638-9

Springer proceedings in mathematics & statistics , 0222

Localisation : Colloque 1er étage (SALV)

singularité # foliation # équisingularité # fibration de Milnor # topologie # classification topologique des singularités # déformation # théorie des catastrophes

58K05 ; 58K15 ; 58K35 ; 58K60 ; 32S05 ; 32S15 ; 32S55 ; 58-06 ; 53-06 ; 32-06 ; 00B25

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- 329 p.
ISBN 978-4-931469-39-6

Advanced studies in pure mathematics , 0046

Localisation : Collection 1er étage

géométrie algébrique # théorèmes algébriques # singularités # équisingularités # paramétrisation # intersection # stratification # groupe de Picard # structure de fouille # recouvrement # fonctions holomorphiques à plusieures variables complexes # théorie des résidus # ensembles semi-analytiques # variétés symplectiques # points critiques d'une fonction

12D10 ; 13A18 ; 14B05 ; 14C05 ; 14C17 ; 14C22 ; 14D05 ; 14E15 ; 14E20 ; 32A27 ; 32B20 ; 32S05 ; 32S10 ; 32S15 ; 32S25 ; 32S45 ; 32S60 ; 53D35 ; 58K05

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- xi; 193 p.
ISBN 978-1-4614-1896-2

Springer optimization and its applications , 0064

Localisation : Ouvrage RdC (SHIK)

optimisation non-différentiable # programmation mathématique # optimisation mathématique # analyse fonctionnelle # théorie du point critique # sym-MFCQ # MPCC # optimisation disjointive # théorème de Sard # variétés de Lipschitz

90C30 ; 90C31 ; 90C33 ; 90C34 ; 90C26 ; 57R45 ; 58K05 ; 49J52 ; 90-02 ; 26E25 ; 58E05

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- xvi; 353 p.
ISBN 978-1-4614-1104-8

Universitext

Localisation : Ouvrage RdC (NICO)

courbe # surface # point critique # fonction de Morse # homologie de Floer # inégalité de Morse # flot de Morse-Smale # théorie de Morse complex

53A04 ; 53A05 ; 53D20 ; 57R17 ; 57R58 ; 57R65 ; 57R70 ; 57R91 ; 58A35 ; 58K05 ; 58K10 ; 57-01 ; 57R80 ; 57T15

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- xii; 187 p.
ISBN 978-3-0348-0162-1

Progress in mathematics , 0293

Localisation : Collection 1er étage

point critique # géométrie symplectique # singularités d'applications différentielles # fonction de Lagrange

37J45 ; 58E05 ; 37-02 ; 37J05 ; 58K05 ; 57R45

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- xxvii, 487 p.
ISBN 978-2-85629-263-1

Astérisque , 0323

Localisation : Périodique 1er étage

algèbre de Rees # algèbre différentielle # algorithme de Godbillon-Vey # champs de vecteurs # classification analytique # classification topologique # clôture intégrale des idéaux # corps de Hardy # correspondance de Weil # courbe polaire # courbes elliptiques # courbes invariantes # dérivations étrangères # difféomorphisme analytique # dynamique locale # eikonales # ensembles semi-algébriques # enveloppe galoisienne # équations différentielles # équations différentielles ordinaires # équations aux q-différences # espace des jets # espace feuilleté # espaces d'arcs # feuilletages # feuilletages algébriques # feuilletages en droites # feuilletages holomorphes # feuilletages quasi-homogènes # feuilletages singuliers # fibrés vectoriels # forme normale # géométrie birationelle # graphes # groupe de Galois # groupoïde de Galois # irréductibilité # opérateurs de Stokes # pinceau de courbes # queues d'aronde # réduction des singularités # séries de sous-espaces invariants # structures o-minimales # structures projectives # structures transverses # surface de Riemann # théorème d'Izumi # théorème de Frobenius # théorie de Galois différentielle # trans-séries # valeurs propres # valuations de Rees # valuations divisionnelles algèbre de Rees # algèbre différentielle # algorithme de Godbillon-Vey # champs de vecteurs # classification analytique # classification topologique # clôture intégrale des idéaux # corps de Hardy # correspondance de Weil # courbe polaire # courbes elliptiques # courbes invariantes # dérivations étrangères # difféomorphisme analytique # dynamique locale # eikonales # ensembles semi-algébriques # enveloppe galoisienne # équations différentielles ...

03C99 ; 11S40 ; 12-XX ; 12H05 ; 13F30 ; 13G05 ; 14B05 ; 14E05 ; 14J17 ; 14P10 ; 14P15 ; 15A18 ; 32A05 ; 32G34 ; 32H02 ; 32H50 ; 32S05 ; 32S25 ; 32S65 ; 34M35 ; 34M40 ; 34MXX ; 37A20 ; 37C10 ; 37C85 ; 37F75 ; 37F99 ; 39A13 ; 46Bxx ; 47-XX ; 53C10 ; 58A10 ; 58A17 ; 58A30 ; 58H05 ; 58K05 ; 34M55 ; 58k20 ; 58K50

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- 241 p.
ISBN 978-0-387-49509-5

Universitext

Localisation : Ouvrage RdC (NICO)

points critiques # sous-variété critique # h-cobordisme # s-cobordisme # topologie symplectique et de contact # équivarient algébrique topologique d'une variété # homologie et cohomologie dans un groupe de Lie # réduction symplectique # théorie de Picard-Lefschetz

57R50 ; 57R80 ; 57R17 ; 57R91 ; 57T15 ; 58K05 ; 53D20 ; 14D05

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- 580 p.
ISBN 978-3-7643-7535-5

Monografie matematyczne , 0067

Localisation : Ouvrage RdC (ZOLA)

extension de Picard-Vesslot # feuillage holomorphe # fonction hypergéométrique # groupe de monodromie # problème de Riemann-Hilbert # structure de Hodge # théorème d'annulation # théorie de Morse

12H05 ; 14D05 ; 32G20 ; 32G34 ; 32S30 ; 32S35 ; 32S40 ; 32S55 ; 32S65 ; 33C05 ; 33C60 ; 34C07 ; 34M35 ; 34M40 ; 34M50 ; 37F75 ; 37G05 ; 58K05 ; 58K10 ; 58K45

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- 237 p.
ISBN 978-3-540-38894-4

Lecture notes in mathematics , 1893

Localisation : Collection 1er étage

système dynamique hamiltonien # théorie de la bifurcation # EDP # équilibre # tori hyperbolique # tori invariant # ensemble de cantor # singularité de plan

37J20 ; 37J40 ; 34C30 ; 34D30 ; 37C15 ; 37G05 ; 37G10 ; 37J15 ; 58K05 ; 58K70 ; 70E20 ; 70H08 ; 70H33 ; 70K30 ; 70K43

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