CIRM - Videos & books Library - Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur)

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Auteurs : Bouttier, Jérémie (Auteur de la Conférence)
CIRM (Editeur )

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integer partitions and standard Young tableaux Plancherel measure Longest Increasing Subsequence problem poissonized Plancherel measure correspondence between partitions and particle configurations the poissonized Plancherel measure is a determinantal point process determinantal point processes gap probabilities fermionic configurations Fock space creation and annihilation operators canonical anticommutation relations bosonic operators fermionic expression of correlation functions

Résumé : Le but de ce cours sera de présenter quelques techniques liées aux processus de Schur, dans le cadre le plus simple de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers.
La mesure de Plancherel est une mesure sur l'ensemble des partitions d'un entier n, où une partition donnée apparaît avec une probabilité proportionnelle au carré de son nombre de tableaux de Young standard. Cette mesure apparaît très naturellement en lien avec le fameux problème de Ulam-Hammersley, qui consiste à étudier la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme de {1,...,n}. Il est en fait fructueux de travailler avec une version «poissonisée» du problème, où la taille n est tirée selon une loi de Poisson, dont on fera tendre le paramètre vers l'infini afin d'étudier les asymptotiques.
Dans la première séance, nous verrons que la mesure de Plancherel poissonisée est en fait un processus déterminantal, dont le noyau de corrélation fait intervenir les fonctions de Bessel. Nous utiliserons pour cela le formalisme de l'espace de Fock fermionique. (Toutes les notions nécessaires seront introduites au fur et à mesure, de la manière la plus élémentaire possible.)
Dans la seconde séance, nous étudierons les différentes asymptotiques du noyau de corrélation, par une application élégante de la méthode du col due à Okounkov et Reshetikhin. Nous verrons en particulier apparaître un phénomène de forme-limite, le noyau sinus discret dans le cas des limites «bulk» et le noyau d'Airy dans la limite «edge». In fine, nous aboutirons à une preuve du théorème de Baik-Deift-Johansson (1998) énonçant que les fluctuations de la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme ont asymptotiquement la même distribution que la plus grande valeur propre d'une matrice hermitienne aléatoire.

Keywords : Young diagram; Plancherel measure; permutations; Baik-Deift-Johannson theorem; Ulam-Hammersley problem

Codes MSC :
05A17 - Partitions of integers (combinatorics)
05E10 - Combinatorial aspects of representation theory
60C05 - Combinatorial probability
60G55 - Point processes

Ressources complémentaires :
https://www.cirm-math.fr/RepOrga/1952/Slides/Bouttier_Alea.pdf

Informations sur la Vidéo

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https://videos.cirm-math.fr/2019-03-20_Bouttier_Part1.mp4

Informations sur la Rencontre

Nom de la rencontre : ALEA Days / Journées ALEA
Organisateurs de la rencontre : Chapuy, Guillaume ; Goldschmidt, Christina ; Duchi, Enrica
Dates : 18/03/2019 - 22/03/2019
Année de la rencontre : 2019
URL Congrès : https://conferences.cirm-math.fr/1952.html

Données de citation

DOI : 10.24350/CIRM.V.19507603
Citer cette vidéo: Bouttier, Jérémie (2019). Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur) - Partie 1. CIRM. Audiovisual resource. doi:10.24350/CIRM.V.19507603
URI : http://dx.doi.org/10.24350/CIRM.V.19507603

Bibliographie

Romik, D. (2015). The surprising mathematics of longest increasing subsequences. Cambridge: Cambridge University Press - https://doi.org/10.1017/CBO9781139872003

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