Documents Vaienti, Sandro 2 results

Dans cette thèse, on commence par présenter l'étude d'un système dynamique isométrique par morceaux généralisant un exemple connu. On montre qu'il exhibe une infinité de points périodiques hiérarchisés par une structure auto-similaire. L'application de premier retour dans un de ses atomes est une isométrie par morceaux définie sur une partition autosimilaire comportant une infinité d'atomes dont le temps de retour croit exponentiellement. L'auto-similarité observée n'est que partielle, elle ne d´ecrit pas toute la dynamique, mais elle est préservée quand on varie le paramètre principal de manière continue. Cela permet d'identifier les conditions sous lesquelles une auto-similarité est possible. On dégagera ainsi des hypothèses générales qui ont de nombreuses conséquences intéréssantes. En particulier, outre l'existence éventuelle de familles de cellules périodiques descriptibles par un schéma substitutif, on montrera qu'il doit exister un ensemble non vide de points apériodiques. Cet ensemble est fractal, il peut être construit comme un attracteur d'I.F.S graphe-dirigé et sa dimension de Hausdorff peut être calculée. On montrera aussi que la structure géométrique amène tout naturellement à coder la dynamique par une application de Vershik sur un diagramme de Bratteli stationnaire, uni-ergodique sous des conditions naturelles de primitivité. Ce codage particulier peut être ”traduit” dans le langage standard de l'application. Cette dynamique symbolique-ci est alors un système substitutif.
Le cadre présenté est suffisament général pour englober la plupart des cas particuliers étudiés jusqu'alors. A titre d'application, on l'utilise pour montrer que le système cité ci-dessus possède une mesure invariante dotée d'une infinité de composantes ergodiques.[-]