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Documents  03E05 | enregistrements trouvés : 37

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Research talks

The productivity of the $\kappa $-chain condition, where $\kappa $ is a regular, uncountable cardinal, has been the focus of a great deal of set-theoretic research. In the 1970’s, consistent examples of $kappa-cc$ posets whose squares are not $\kappa-cc$ were constructed by Laver, Galvin, Roitman and Fleissner. Later, ZFC examples were constructed by Todorcevic, Shelah, and others. The most difficult case, that in which $\kappa = \aleph{_2}$, was resolved by Shelah in 1997.
In the first part of this talk, we shall present analogous results regarding the infinite productivity of chain conditions stronger than $\kappa-cc$. In particular, for any successor cardinal $\kappa$, we produce a ZFC example of a poset with precaliber $\kappa$ whose $\omega ^{th}$ power is not $\kappa-cc$. To do so, we introduce and study the principle $U(\kappa , \mu , \theta , \chi )$ asserting the existence of a coloring $c:\left [ \kappa \right ]^{2}\rightarrow \theta $ satisfying a strong unboundedness condition.
In the second part of this talk, we shall introduce and study a new cardinal invariant $\chi \left ( \kappa \right )$ for a regular uncountable cardinal $\kappa$ . For inaccessible $\kappa$, $\chi \left ( \kappa \right )$ may be seen as a measure of how far away $\kappa$ is from being weakly compact. We shall prove that if $\chi \left ( \kappa \right )> 1$, then $\chi \left ( \kappa \right )=max(Cspec(\kappa ))$, where:
(1) Cspec$(\kappa)$ := {$\chi (\vec{C})\mid \vec{C}$ is a sequence over $\kappa$} $\setminus \omega$, and
(2) $\chi \left ( \vec{C} \right )$ is the least cardinal $\chi \leq \kappa $ such that there exist $\Delta\in\left [ \kappa \right ]^{\kappa }$ and
b : $\kappa \rightarrow \left [ \kappa \right ]^{\chi }$ with $\Delta \cap \alpha \subseteq \cup _{\beta \in b(\alpha )}C_{\beta }$ for every $\alpha < \kappa$.
We shall also prove that if $\chi (\kappa )=1$, then $\kappa$ is greatly Mahlo, prove the consistency (modulo the existence of a supercompact) of $\chi (\aleph_{\omega +1})=\aleph_{0}$, and carry a systematic study of the effect of square principles on the $C$-sequence spectrum.
In the last part of this talk, we shall unveil an unexpected connection between the two principles discussed in the previous parts, proving that, for infinite regular cardinals $\theta< \kappa ,\theta \in Cspec(\kappa )$ if there is a closed witness to $U_{(\kappa ,\kappa ,\theta ,\theta )}$.
This is joint work with Chris Lambie-Hanson.
The productivity of the $\kappa $-chain condition, where $\kappa $ is a regular, uncountable cardinal, has been the focus of a great deal of set-theoretic research. In the 1970’s, consistent examples of $kappa-cc$ posets whose squares are not $\kappa-cc$ were constructed by Laver, Galvin, Roitman and Fleissner. Later, ZFC examples were constructed by Todorcevic, Shelah, and others. The most difficult case, that in which $\kappa = \aleph{_2}$, ...

03E35 ; 03E05 ; 03E75 ; 06E10

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Research talks;Logic and Foundations

It is well-known that the statement "all $\aleph_1$-Aronszajn trees are special'' is consistent with ZFC (Baumgartner, Malitz, and Reinhardt), and even with ZFC+GCH (Jensen). In contrast, Ben-David and Shelah proved that, assuming GCH, for every singular cardinal $\lambda$: if there exists a $\lambda^+$-Aronszajn tree, then there exists a non-special one. Furthermore:
Theorem (Ben-David and Shelah, 1986) Assume GCH and that $\lambda$ is singular cardinal. If there exists a special $\lambda^+$-Aronszajn tree, then there exists a $\lambda$-distributive $\lambda^+$-Aronszajn tree.
This suggests that following stronger statement:
Conjecture. Assume GCH and that $\lambda$ is singular cardinal.
If there exists a $\lambda^+$-Aronszajn tree,
then there exists a $\lambda$-distributive $\lambda^+$-Aronszajn tree.

The assumption that there exists a $\lambda^+$-Aronszajn tree is a very mild square-like hypothesis (that is, $\square(\lambda^+,\lambda)$).
In order to bloom a $\lambda$-distributive tree from it, there is a need for a toolbox, each tool taking an abstract square-like sequence and producing a sequence which is slightly better than the original one.
For this, we introduce the monoid of postprocessing functions and study how it acts on the class of abstract square sequences.
We establish that, assuming GCH, the monoid contains some very powerful functions. We also prove that the monoid is closed under various mixing operations.
This allows us to prove a theorem which is just one step away from verifying the conjecture:

Theorem 1. Assume GCH and that $\lambda$ is a singular cardinal.
If $\square(\lambda^+,<\lambda)$ holds, then there exists a $\lambda$-distributive $\lambda^+$-Aronszajn tree.
Another proof, involving a 5-steps chain of applications of postprocessing functions, is of the following theorem.

Theorem 2. Assume GCH. If $\lambda$ is a singular cardinal and $\square(\lambda^+)$ holds, then there exists a $\lambda^+$-Souslin tree which is coherent mod finite.

This is joint work with Ari Brodsky. See: http://assafrinot.com/paper/29
It is well-known that the statement "all $\aleph_1$-Aronszajn trees are special'' is consistent with ZFC (Baumgartner, Malitz, and Reinhardt), and even with ZFC+GCH (Jensen). In contrast, Ben-David and Shelah proved that, assuming GCH, for every singular cardinal $\lambda$: if there exists a $\lambda^+$-Aronszajn tree, then there exists a non-special one. Furthermore:
Theorem (Ben-David and Shelah, 1986) Assume GCH and that $\lambda$ is singular ...

03E05 ; 03E65 ; 03E35 ; 05C05

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- ix; 200 p.
ISBN 978-0-8218-4833-3

Contemporary mathematics , 0530

Localisation : Collection 1er étage

logique mathématique # ensemble combinatoire # théorie de Ramsey # ultrafiltres

03C20 ; 03E05 ; 03H05 ; 05C55 ; 28E15 ; 03-06 ; 00B25

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- 150 p.
ISBN 978-0-8218-3819-8

Contemporary mathematics , 0425

Localisation : Collection 1er étage

logique

03C52 ; 03D25 ; 03D35 ; 03D80 ; 03E05 ; 03E15 ; 03E55 ; 03E60 ; 05C12 ; 52C20

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- 432 p.
ISBN 978-0-8218-5178-4

Contemporary mathematics , 0171

Localisation : Collection 1er étage

GCH # K indice O d'anneau régulier # Richard Scott Pierce # algèbre de Artin héréditaire # anneau de valuation discret incomplet # anneau des nombres universels # anneau minimal # contraction # critère de scission # décomposition # endomorphisme et automorphisme # ensemble de cotypes # ensemble de types # foncteur # gerbe de Pierce # groupe B indice 2 # groupe abélien p puissance alpha injectif # groupe abélien presque complètement décomposable # groupe de Baer-Specker # groupe de Butler de rang infini # groupe de Warfield local # groupe de Whitehead non libre # groupe de nombres # groupe libre de torsion # groupe multiplicatif d'un corps # idempotent central # index borné de nilpotence # module noethérien # nombre premier # part divisible de groupe quotient # présentation finie des modules # radical de Jacobson # représentation et dualité # sommande direct # sous-groupe pur # théorie de la mesure # théorie des groupes abéliens # torsion dans les quotients # union de chaînes GCH # K indice O d'anneau régulier # Richard Scott Pierce # algèbre de Artin héréditaire # anneau de valuation discret incomplet # anneau des nombres universels # anneau minimal # contraction # critère de scission # décomposition # endomorphisme et automorphisme # ensemble de cotypes # ensemble de types # foncteur # gerbe de Pierce # groupe B indice 2 # groupe abélien p puissance alpha injectif # groupe abélien presque complètement décomposable ...

03C60 ; 03E05 ; 16E50 ; 20-06 ; 20Kxx

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- 259 p.
ISBN 978-0-8218-5026-8

Contemporary mathematics , 0031

Localisation : Collection 1er étage

01A55 ; 01A60 ; 03E05 ; 03Exx

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- 325 p.
ISBN 978-0-387-13368-3

Lecture notes in mathematics , 1073

Localisation : Collection 1er étage

03E05 ; 04A20 ; 05-02 ; 05B50 ; 05Cxx

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Research talks

By the Cantor-Bendixson theorem, subtrees of the binary tree on $\omega$ satisfy a dichotomy - either the tree has countably many branches or there is a perfect subtree (and in particular, the tree has continuum manybranches, regardless of the size of the continuum). We generalize this to arbitrary regular cardinals $\kappa$ and ask whether every $\kappa$-tree with more than $\kappa$ branches has a perfect subset. From large cardinals, this statement isconsistent at a weakly compact cardinal $\kappa$. We show using stacking mice that the existence of a non-domestic mouse (which yields a model with a proper class of Woodin cardinals and strong cardinals) is a lower bound. Moreover, we study variants of this statement involving sealed trees, i.e. trees with the property that their set of branches cannot be changed by certain forcings, and obtain lower bounds for these as well. This is joint work with Yair Hayut. By the Cantor-Bendixson theorem, subtrees of the binary tree on $\omega$ satisfy a dichotomy - either the tree has countably many branches or there is a perfect subtree (and in particular, the tree has continuum manybranches, regardless of the size of the continuum). We generalize this to arbitrary regular cardinals $\kappa$ and ask whether every $\kappa$-tree with more than $\kappa$ branches has a perfect subset. From large cardinals, this ...

03E45 ; 03E35 ; 03E55 ; 03E05

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Research talks

I give a survey of some recent results on set mappings.

03E05 ; 03E35

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Research talks;Logic and Foundations

The combinatorics of successors of singular cardinals presents a number of interesting open problems. We discuss the interactions at successors of singular cardinals of two strong combinatorial properties, the stationary set reflection and the tree property. Assuming the consistency of infinitely many supercompact cardinals, we force a model in which both the stationary set reflection and the tree property hold at $\aleph_{\omega^2+1}$. Moreover, we prove that the two principles are independent at this cardinal, indeed assuming the consistency of infinitely many supercompact cardinals it is possible to force a model in which the stationary set reflection holds, but the tree property fails at $\aleph_{\omega^2+1}$. This is a joint work with Menachem Magidor.
Keywords : forcing - large cardinals - successors of singular cardinals - stationary reflection - tree property
The combinatorics of successors of singular cardinals presents a number of interesting open problems. We discuss the interactions at successors of singular cardinals of two strong combinatorial properties, the stationary set reflection and the tree property. Assuming the consistency of infinitely many supercompact cardinals, we force a model in which both the stationary set reflection and the tree property hold at $\aleph_{\omega^2+1}$. ...

03E05 ; 03E35 ; 03E55

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Research talks;Logic and Foundations

In 1971 Baumgartner showed it is consistent that any two $\aleph_1$-dense subsets of the real line are order isomorphic. This was important both for the methods of the proof and for consequences of the result. We introduce methods that lead to an analogous result for $\aleph_2$-dense sets.

Keywords : forcing - large cardinals - Baumgartner isomorphism - infinitary Ramsey principles - reflection principles

03E35 ; 03E05 ; 03E50 ; 03E55 ; 03E57

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- xv; 214 p.
ISBN 978-981-4612-61-6

Lecture notes series , 0028

Localisation : Ouvrage RdC (HIRS)

ensemble récursif # mathématiques inversées # théorème de Ramsey # ensemble stable # ensemble cohérent # WKL # lemme de König # arbre # ordre # chaîne # ensemble libre # ensemble maigre # ensemble générique # RCA

03-02 ; 03B30 ; 03F35 ; 03D30 ; 03D80 ; 03E05 ; 05D10

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- vii; 573 p.
ISBN 978-3-0348-0729-6

Progress in mathematics , 0142

Localisation : Collection 1er étage

algèbre de Boole # co-finalité héréditaire # degré de Lindelöf héréditaire # fonction cardinale # invariant cardinal # irrédondance # nombre d'ultra filtre # nombre de sous-algèbre # pi-caractère # pi-poids

03E05 ; 03E10 ; 03E17 ; 03G05 ; 06-02 ; 06E05 ; 06E10 ; 54A25 ; 54D30 ; 54G05 ; 54G12 ; 06E25 ; 03G25 ; 06F25

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- xiv; 1449-2197 p.
ISBN 978-1-4020-4843-2

Localisation : Ouvrage RdC (HAND)

théorie des ensembles

03-00 ; 03Exx ; 00B15 ; 03E02 ; 03E04 ; 03E05 ; 03E10 ; 03E15 ; 03E17 ; 03E35 ; 03E40 ; 03E45 ; 03E55 ; 03E60

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- xiv; 737-1447 p.
ISBN 978-1-4020-4843-2

Localisation : Ouvrage RdC (HAND)

théorie des ensembles

03-00 ; 03Exx ; 00B15 ; 03E02 ; 03E04 ; 03E05 ; 03E10 ; 03E15 ; 03E17 ; 03E35 ; 03E40 ; 03E45 ; 03E55 ; 03E60

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- xiv; 736 p.
ISBN 978-1-4020-4843-2

Localisation : Ouvrage RdC (HAND)

théorie des ensembles

03-00 ; 03Exx ; 00B15 ; 03E02 ; 03E04 ; 03E05 ; 03E10 ; 03E15 ; 03E17 ; 03E35 ; 03E40 ; 03E45 ; 03E55 ; 03E60

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- xvi; 453 p.
ISBN 978-1-4471-2172-5

Springer monographs in mathematics

Localisation : Ouvrage RdC (HALB)

logique mathématique # théorie combinatoire des ensembles # théorie axiomatique des ensembles # nombre ordinal # nombre cardinal # invariant cardinal # théorème de Ramsey # forcing itéré # forcing

03E35 ; 03E17 ; 03E25 ; 05D10 ; 03E30 ; 03E50 ; 03E05 ; 03E10 ; 03E75 ; 03-01 ; 03-02

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- x; 158 p.
ISBN 978-3-642-21773-9

Lecture notes in mathematics , 2029

Localisation : Collection 1er étage

théorie des foncteurs # algèbre de Boole # logique algébrique

18A30 ; 18A25 ; 18A20 ; 18A35 ; 03E05 ; 05D10 ; 06A07 ; 06A12 ; 18-02 ; 18Axx

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Set theory Jech, Thomas | Springer 2003

Ouvrage

- xiii; 769 p.
ISBN 978-3-540-44085-7

Springer monographs in mathematics

Localisation : Ouvrage RdC (JECH)

axiome de théorie des ensembles # logique mathématique # nombre cardinal # théorie des ensembles # théorie des modèles # théorie descriptive des ensembles

03Exx ; 03-02 ; 03-01 ; 03E05 ; 03E45 ; 03E15 ; 03E40 ; 03E50 ; 03E55 ; 03E35 ; 03E60 ; 03E04 ; 03E10 ; 03E17 ; 03E02

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- 306 p.
ISBN 978-0-8218-3474-9

Contemporary mathematics , 0380

Localisation : Collection 1er étage

espace nucléaire # logique # modèle non-standard # théorie des ensembles # ultrafiltre # définissabilité # conjecture de Schanuel

03-06 ; 03C35 ; 03C45 ; 03C60 ; 03C95 ; 03C98 ; 03E05 ; 03E15 ; 03F30 ; 03H15 ; 03Cxx ; 03Exx

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