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Research talks;Partial Differential Equations;Mathematical Physics

In this talk we discuss the convergence to equilibrium in conservative-dissipative ODE-systems, kinetic relaxation models (of BGK-type), and Fokker-Planck equation. This will include symmetric, non-symmetric and hypocoercive evolution equations. A main focus will be on deriving sharp decay rates.
We shall start with hypocoercivity in ODE systems, with the ”hypocoercivity index” characterizing its structural complexity.
BGK equations are kinetic transport equations with a relaxation operator that drives the phase space distribution towards the spatially local equilibrium, a Gaussian with the same macroscopic parameters. Due to the absence of dissipation w.r.t. the spatial direction, convergence to the global equilibrium is only possible thanks to the transport term that mixes various positions. Hence, such models are hypocoercive.
We shall prove exponential convergence towards the equilibrium with explicit rates for several linear, space periodic BGK-models in dimension 1 and 2. Their BGK-operators differ by the number of conserved macroscopic quantities (like mass, momentum, energy), and hence their hypocoercivity index. Our discussion includes also discrete velocity models, and the local exponential stability of a nonlinear BGK-model.
The third part of the talk is concerned with the entropy method for (non)symmetric Fokker-Planck equations, which is a powerful tool to analyze the rate of convergence to the equilibrium (in relative entropy and hence in L1). The essence of the method is to first derive a differential inequality between the first and second time derivative of the relative entropy, and then between the entropy dissipation and the entropy. For hypocoercive Fokker-Planck equations, i.e. degenerate parabolic equations (with drift terms that are linear in the spatial variable) we modify the classical entropy method by introducing an auxiliary functional (of entropy dissipation type) to prove exponential decay of the solution towards the steady state in relative entropy. The obtained rate is indeed sharp (both for the logarithmic and quadratic entropy). Finally, we extend the method to the kinetic Fokker-Planck equation (with nonquadratic potential).
In this talk we discuss the convergence to equilibrium in conservative-dissipative ODE-systems, kinetic relaxation models (of BGK-type), and Fokker-Planck equation. This will include symmetric, non-symmetric and hypocoercive evolution equations. A main focus will be on deriving sharp decay rates.
We shall start with hypocoercivity in ODE systems, with the ”hypocoercivity index” characterizing its structural complexity.
BGK equations are kinetic ...

35Q84 ; 35H10 ; 35B20 ; 35K10 ; 35B40 ; 47D07 ; 35Pxx ; 47D06 ; 82C31

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- 269 p.
ISBN 978-3-7643-7004-6

I.S.N.M. , 0143

Localisation : Colloque 1er étage (GRAZ)

théorie des systèmes # système de contrôle # contrôle # estimation # EDP # système à paramètre réparti # équation d'onde # équation de la mécanique # système dynamique # équation à évolution linéaire # inégalité variationnelle # problème bien posé # contrôle optimal linéaire # modèle # méthode numérique # méthode de calcul # équation de Navier-Stokes # système à large échelle # observabilité # stabilisation des systèmes par feedback

35L05 ; 35Q72 ; 47D06 ; 49J40 ; 49K40 ; 49N05 ; 62H30 ; 65C20 ; 65M99 ; 65P99 ; 68U99 ; 76D05 ; 93A15 ; 93B07 ; 93Cxx ; 93D15

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ISBN 978-3-540-56471-3

Lecture notes in mathematics , 1540

Localisation : Collection 1er étage

analyse fonctionnelle # biomathématique # cristaux liquides # estimation Lp # fonction de Lyapunov # interpolation # intégrale de passage # intégrale oscillatoire # opérateur linéaire # semi groupe # semigroupe # solution singulière perturbée # sous facteur # système de Stokes # théorie d'algèbre d'opérateurs # théorie de probabilité # théorie des opérateurs # variable complexe # variété de Sobolev # équation d'ondes # équation d'évolution linéaire et quasi linéaire # équation de Emdem-Fowler # équation de Navier-Stokes # équation différentielle # équation parabolique analyse fonctionnelle # biomathématique # cristaux liquides # estimation Lp # fonction de Lyapunov # interpolation # intégrale de passage # intégrale oscillatoire # opérateur linéaire # semi groupe # semigroupe # solution singulière perturbée # sous facteur # système de Stokes # théorie d'algèbre d'opérateurs # théorie de probabilité # théorie des opérateurs # variable complexe # variété de Sobolev # équation d'ondes # équation d'évolution ...

46-06 ; 46N20 ; 47D06 ; 47H20 ; 47N20

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- vi; 256 p.
ISBN 978-3-319-06265-5

Operator theory: advances and applications , 0240

Localisation : Collection 1er étage

IWOTA # analyse harmonique # analyse non commutative # théorie des opérateurs

30E05 ; 30H20 ; 34B24 ; 34C25 ; 34K13 ; 34L05 ; 34L40 ; 35Q58 ; 42A45 ; 42B37 ; 46L53 ; 47A10 ; 47A13 ; 47A20 ; 47A40 ; 47A48 ; 47A55 ; 47A60 ; 47A75 ; 47B07 ; 47B10 ; 47B20 ; 47B33 ; 47B35 ; 47B38 ; 47B40 ; 47D06 ; 47L20 ; 60H15

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- iii; 243 p.
ISBN 978-0-7315-5208-5

Proceedings of the Centre for Mathematics and its Applications, Australian National University , 0044

Localisation : Colloque 1er étage (CANB)

théorie spectrale # analyse harmonique # théorie des opérateurs # variable aléatoire Gaussienne # K-convexité # interpolation d'Hermite # forme de Jordan # opérateur linéaire # équation de Klein-Gordon # semi-groupe holomorphe # théorème du maximum # opérateur sectoriel # théorie de Mourre # principe d'absorption limite # problème de Calderon # opérateur de Dirichlet-Neumann # surface de Riemann # mesure de Carleson # extrapolation # calcul fonctionnel # équation d'évolution stochastique # calcul fonctionnel holomorphe # estimation de Strichartz # équation linéai théorie spectrale # analyse harmonique # théorie des opérateurs # variable aléatoire Gaussienne # K-convexité # interpolation d'Hermite # forme de Jordan # opérateur linéaire # équation de Klein-Gordon # semi-groupe holomorphe # théorème du maximum # opérateur sectoriel # théorie de Mourre # principe d'absorption limite # problème de Calderon # opérateur de Dirichlet-Neumann # surface de Riemann # mesure de Carleson # extrapolation # calcul ...

47-06 ; 35-06 ; 42-06 ; 00B25 ; 47B10 ; 28C20 ; 46B09 ; 47N30 ; 60H05 ; 47-02 ; 47A60 ; 65D05 ; 65D07 ; 47A50 ; 35B45 ; 35Q75 ; 58J45 ; 35L71 ; 47D06 ; 46H30 ; 34G10 ; 46E40 ; 42B25 ; 35P25 ; 47A40 ; 35J05 ; 35R30 ; 35J10 ; 35J25 ; 42B37 ; 47F05 ; 60H15 ; 47B44 ; 35Q40 ; 35Q41 ; 35Q55

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Research talks;Dynamical Systems and Ordinary Differential Equations;Partial Differential Equations

In this talk we study for $p\in \left ( 1,\infty \right )$ the $L^{p}$-realization of the vector-valued Schrödinger operator $\mathcal{L}u:= div\left ( Q\triangledown u \right )+Vu$. Using a noncommutative version of the Dore-Venni theorem due to Monniaux and Prüss, and a perturbation theorem by Okazawa, we prove that $L^{p}$, the $L^{p}$-realization of $\mathcal{L}$, defined on the intersection of the natural domains of the differential and multiplication operators which form $\mathcal{L}$, generates a strongly continuous contraction semigroup on $L^{p}\left ( \mathbb{R}^{d} ;\mathbb{C}^{m}\right )$. We also study additional properties of the semigroup such as positivity, ultracontractivity, Gaussian estimates and compactness of the resolvent. We end the talk by giving some generalizations obtained recently and several examples. In this talk we study for $p\in \left ( 1,\infty \right )$ the $L^{p}$-realization of the vector-valued Schrödinger operator $\mathcal{L}u:= div\left ( Q\triangledown u \right )+Vu$. Using a noncommutative version of the Dore-Venni theorem due to Monniaux and Prüss, and a perturbation theorem by Okazawa, we prove that $L^{p}$, the $L^{p}$-realization of $\mathcal{L}$, defined on the intersection of the natural domains of the differential and ...

35J47 ; 47D06 ; 35J15 ; 47D08

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Research talks;Analysis and its Applications;Dynamical Systems and Ordinary Differential Equations;Mathematical Physics

In this talk new enclosures for the spectra of operators associated with second order Cauchy problems are presented for non-selfadjoint damping. Our new results yield much better bounds than the numerical range of these non-selfadjoint operators for both uniformly accretive and sectorial damping.
(joint work with B. Jacob, Carsten Trunk and H. Vogt)

47A10 ; 47A12 ; 34G10 ; 47D06 ; 76Bxx

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Research talks;Dynamical Systems and Ordinary Differential Equations

General theory of operator semigroups provides abstract results which can be used to obtain optimal rates of decay or convergence in many evolution equations or dynamical systems. I will describe the abstract results, and indicate how they are obtained and how they can be applied in examples.

47D06 ; 34D05 ; 34G10 ; 47B38

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- 247 p.
ISBN 978-0-387-31341-2

Universitext

Localisation : Ouvrage RdC (ENGE)

théorie des opérateurs # groupe d'opérateurs linéaires # semi-groupe d'opérateurs linéaires # équation d'évolution # EDO linéaire # espace de Banach # perturbation # stabilité

47Dxx ; 47-01 ; 47D03 ; 47D06 ; 34G10

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- xv; 235 p.
ISBN 978-1-4419-9475-2

Localisation : Ouvrage RdC (BEZA)

probabilités # équation différentielle stochastique # processus stochastique

34K50 ; 34K30 ; 35R60 ; 47D06 ; 60-XX ; 60Axx ; 60-02 ; 60H10 ; 60H15 ; 60G99

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- 290 p.
ISBN 978-3-7643-2697-5

Monographs in mathematics , 0085

Localisation : Ouvrage RdC (PART)

théorie quantique # calcul stochastique quantique # probabilité quantique # intégration stochastique # mécanique quantique # formule d'Itô # espace de Foch # représentation de Weyl # théorème de Shale

81S25 ; 46L51 ; 47D06 ; 60H05 ; 81-02

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- xvi; 331 p.
ISBN 978-1-316-62086-1

London mathematical society lecture note series , 0434

Localisation : Collection 1er étage

équation différentielle parabolique # problème aux limites # semigroupe # problème de Cauchy dans les espaces de Banach # opérateur pseudo-différentiel # espace de Besov # solution locale

35-02 ; 47H20 ; 47D06 ; 35K60 ; 35J65

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- 283 p.
ISBN 978-3-540-71128-5

Lecture notes in mathematics , 1898

Localisation : Collection 1er étage

EDP # équation hyperbolique # équation d'évolution non-linéaire # problème de valeur initiale # équation d'évolution linéaire # semigroupe continu

47J35 ; 47D06 ; 35L60 ; 35L45 ; 35L15

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- v; 144 p.
ISBN 978-1-4704-2802-0

Memoirs of the American Mathematical Society , 1200

Localisation : Collection 1er étage

équation de Kramers-Fokker-Planck # processus de Langevin # Laplacien hypoelliptique # problème aux valeurs limites # estimation subelliptique

35G15 ; 35H10 ; 35H20 ; 35R01 ; 47D06 ; 58J32 ; 58J50 ; 58J65 ; 60H10 ; 60J65

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- 644 p.
ISBN 978-0-521-43408-9

Encyclopedia of mathematics and its applications , 0074

Localisation : Collection 1er étage

EDP # application de la théorie des systèmes # solution qualitative d"EDP # système d"EDP # système dans des espaces abstraits # système parabolique abstrait # théorie continue # théorie des approximations # théorie des opérateurs # théorie du contrôle # évolution linéaire d"une équaiton

35Bxx ; 47D06 ; 93-02 ; 93C20 ; 93C25

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- xiv; 438 p.
ISBN 978-1-107-13743-1

New mathematical monographs , 0030

Localisation : Ouvrage RdC (BOBR)

théorie des opérateurs # convergence de semi-groupes # semi-groupe limite # bio-mathématiques # dynamique des populations

47-02 ; 47D06 ; 34G10 ; 34K30 ; 47N60 ; 92-XX ; 92D25 ; 47D07 ; 35Q92 ; 35B40

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- xiii; 306 p.
ISBN 978-0-691-15715-3

Annals of mathematics studies , 0185

Localisation : Ouvrage RdC (EPST)

opérateur elliptique # processus de Markov # biologie des populations

47-02 ; 47N60 ; 92D25 ; 47D06 ; 47D07

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- v; 122 p.
ISBN 978-1-4704-1705-5

Memoirs of the american mathematical society , 1138

Localisation : Collection 1er étage

opérateur hamiltonien # espace de Hilbert # matrice # opérateur quadratique # équation d'évolution # flot de Brocket-Wegner

47D06 ; 81Q10

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- 224 p.
ISBN 978-3-7643-8731-0

Operator theory: advances and applications , 0182

Localisation : Collection 1er étage

EDP # théorie de Sturm-Liouville # système parabolique # problème de valeur frontière # opérateur linéaire # perturbation # équation d'évolution linéaire

34B24 ; 35K50 ; 47A55 ; 47D06

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- 472 p.
ISBN 978-3-540-23030-4

Lecture notes in mathematics , 1855

Localisation : Collection 1er étage

EDP # théorie des opérateurs # équation linéaire # équation non-linéaire # semi-groupe de Markov # Lp-régularité maximum # problème en espace abstrait # équation de Riccati # problèe de limite

47-06 ; 35-06 ; 00B15 ; 34G10 ; 34G20 ; 47D06 ; 47N20 ; 49K27 ; 60-06

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