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Number Theory

Bounded remainder sets for a dynamical system are sets for which the Birkhoff averages of return times differ from the expected values by at most a constant amount. These sets are rare and important objects which have been studied for over 100 years. In the last few years there have been a number of results which culminated in explicit constructions of bounded remainder sets for toral rotations in any dimension, of all possible allowable volumes. In this talk we are going to explain these results, and then explain how to generalize them to give explicit constructions of bounded remainder sets for rotations in $p$-adic solenoids. Our method of proof will make use of a natural dynamical encoding of patterns in non-Archimedean cut and project sets. Bounded remainder sets for a dynamical system are sets for which the Birkhoff averages of return times differ from the expected values by at most a constant amount. These sets are rare and important objects which have been studied for over 100 years. In the last few years there have been a number of results which culminated in explicit constructions of bounded remainder sets for toral rotations in any dimension, of all possible allowable ...

11K06 ; 11K38 ; 11J71

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Number Theory

Let $\alpha$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^d$ be a vector whose entries $\alpha_1, . . . , \alpha_d$ and $1$ are linearly independent over the rationals. We say that $S \subset \mathbb{T}^d$ is a bounded remainder set for the sequence of irrational rotations $\lbrace n\alpha\rbrace_{n\geqslant1}$ if the discrepancy
$ \sum_{k=1}^{N}1_S (\lbrace k\alpha\rbrace) - N$ $mes(S)$
is bounded in absolute value as $N \to \infty$. In one dimension, Hecke, Ostrowski and Kesten characterized the intervals with this property.
We will discuss the bounded remainder property for sets in higher dimensions. In particular, we will see that parallelotopes spanned by vectors in $\mathbb{Z}\alpha + \mathbb{Z}^d$ have bounded remainder. Moreover, we show that this condition can be established by exploiting a connection between irrational rotation on $\mathbb{T}^d$ and certain cut-and-project sets. If time allows, we will discuss bounded remainder sets for the continuous irrational rotation $\lbrace t \alpha : t$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^+\rbrace$ in two dimensions.
Let $\alpha$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^d$ be a vector whose entries $\alpha_1, . . . , \alpha_d$ and $1$ are linearly independent over the rationals. We say that $S \subset \mathbb{T}^d$ is a bounded remainder set for the sequence of irrational rotations $\lbrace n\alpha\rbrace_{n\geqslant1}$ if the discrepancy
$ \sum_{k=1}^{N}1_S (\lbrace k\alpha\rbrace) - N$ $mes(S)$
is bounded in absolute value as $N \to \infty$. In one dimension, Hecke, ...

11K38 ; 11J71 ; 11K06

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- 138 p.

Grundlehren der mathematischen wissenschaften in einzeldarstellungen , 0148

Localisation : Collection 1er étage;Réserve

arithmétique # distribution # fonction arithmétique # théorie des nombres # théorème de Chebyskev # théorème de Kronecka # théorème de Minkowski

11-02 ; 11A41 ; 11K01 ; 11K06

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- 144 p.

Queen's papers in pure and applied mathematics , 0081

Localisation : Ouvrage RdC (BERT)

conjecture de Lehmer # fonction analytique et bornée sur un disque # nombre de Pisot # petits nombres de Salem # théorème de Smyth

11F11 ; 11K06 ; 11R06

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- 102 p.
ISBN 978-0-8218-1814-5

Memoirs of the american mathematical society , 0114

Localisation : Collection 1er étage

probabilité # variable aléatoire # théories des ensembles # théorie probabiliste des nombres # fonction arithmétique # approximation diophantienne # théorème limite # comportement asymptotique de N # suite # distribution modulo 1 # irrégularité de distribution

11K65 ; 11K06 ; 11K60 ; 11K38 ; 60F05 ; 11K55

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- pag. mult.
ISBN 978-0-8204-7731-2

Slowakische akademie der wissenschaften , 0001

Localisation : Ouvrage RdC(STRA)

distribution modulo 1 # théorie des nombres # suite à une dimension

11-02 ; 11J71 ; 11K06 ; 11K38

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- 503 p.
ISBN 978-3-540-62606-0

Lecture notes in mathematics , 1651

Localisation : Collection 1er étage

théorie des nombres # discrépance de suites # distribution modulo 1 # irrégularités de distribution # généralisation aléatoire de nombres # intégration numérique # nombre pseudo-aléatoires # distribution uniforme de suite # dispersion # suites dans un espace discret

11Kxx ; 11K06 ; 11K38

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- x; 243 p.
ISBN 978-2-85629-313-3

Panoramas et synthèses , 0032

Localisation : Collection 1er étage

Approximation diophantienne # arbres aléatoires # cascade multiplicative # chaos multiplicatif # chaîne de Markov # dimension de boîte # dimension de Hausdorff # dimension de packing # fonction multifractale # formalisme multifractal # fractals # fragmentation aléatoire # martingales # mesure multifractale # mesures # processus de branchement # produits de Riesz # recouvrements # régularité ponctuelle # spectre multifractal # systèmes dynamiques # ubiquité Approximation diophantienne # arbres aléatoires # cascade multiplicative # chaos multiplicatif # chaîne de Markov # dimension de boîte # dimension de Hausdorff # dimension de packing # fonction multifractale # formalisme multifractal # fractals # fragmentation aléatoire # martingales # mesure multifractale # mesures # processus de branchement # produits de Riesz # recouvrements # régularité ponctuelle # spectre multifractal # systèmes dynamiques ...

11J83 ; 11K06 ; 26A15 ; 26A30 ; 28A78 ; 28A80 ; 37B40 ; 43A25 ; 60G18 ; 60J80

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- xvi; 300 p.
ISBN 978-0-521-11169-0

Cambridge tracts in mathematics , 0193

Localisation : Collection 1er étage

théorie des nombres # distribution # analyse diophantienne # distribution modulo 1

11-02 ; 11J71 ; 11K06

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- vii; 77 p.
ISBN 978-1-4704-4095-4

Memoirs of the American Mathematical Society , 1276

Localisation : Collection 1er étage

approximation diophantienne multiplicative # expansion d'Ostrowski # distribution uniforme

11K60 ; 11J71 ; 11A55 ; 11J83 ; 11J20 ; 11J70 ; 11K38 ; 11J54 ; 11K06 ; 11K50

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These d'habilitation

Localisation : Bibliothèque de Jussieu

ensembles normaux # substitutions

11J71 ; 11K06 ; 11K16 ; 68R05 ; 68R10

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- 32 p.

Localisation : Ouvrage RdC (MAUD)

équirépartition modulo un # automates finis # ensemble normal # graphes orientés # nombre cyclomatique # produit infini de matrices # spectres de Fourier-Bohr

11J71 ; 68Q45 ; 11K06

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- 290 p.

Localisation : Ouvrage RdC (BORE)

répartition modulo un # ensembles normaux # discrépance # auto-similarité # nombres premiers généralisés # polynômes à coefficients positifs

11K06 ; 11K16

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